四边形不等式优化区间DP

四边形不等式优化

• 引理1（可直接用来判断）：满足定义和单调性
• 引理2：s[i][j] = k为dp[i][j]取得最优值k，如果dp[i][j] 满足四边形不等式，那么有s[i][j - 1] <= k <= s[i + 1][j]

四边形不等式定义1：

设w是定义在整数集合上的二元函数，对于任意整数i<= i’ <= j <= j’，如果有w(i, j) + w(i’ + j’) <= w(i, j’) + w(i’, j)，则w满足四边形不等式。

四边形不等式定义2：

对于整数i < i + 1 <= j < j + 1，如果有w(i, j) + w(i + 1, j + 1) <= w(i, j + 1) + w(i + 1, j)，则满足四边形不等式。

单调性：

大区间包含小区间，那么大区间的w值大于或等于小区间的w值

int n;
int w[N]; // 价格 w[i][j] 表示从i~j的合价格
int dp[N][N]; // dp数组
int s[N][N]; // 范围

void solve() {
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		dp[i][i] = 0;
		s[i][i] = i; // s[][]的初始值
	}
	
	for(int len = 2; len <= n; len++) {
		for(int i = 1; i <= n - len + 1; i++) {
			int j = i + len - 1;
			for(int k = s[i][j - 1]; k <= s[i + 1][j]; k++) { // 缩小循环范围
				if(dp[i][j] > dp[i][k] + dp[k + 1][j] + w[i][j]) { // 是否更优
					dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k + 1][j] + w[i][j];
					s[i][j] = k; // 更新最佳分割点
				}
			}
		}
	}
}