各类数（五）—— 母函数

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母函数，又称生成函数，是ACM竞赛中经常使用的一种解题算法，常用来解决组合方面的题目。

本文讲解母函数，但不讲解该算法的基础理论。读者随便找一本组合数学教材便可找到相应的内容，或者直接在网上搜索一下。

母函数通常解决类似如下的问题：

给5张1元，4张2元，3张5元，要得到15元，有多少种组合？

某些时候会规定至少使用3张1元、1张2元、0张5元。

某些时候会规定有无数张1元、2元、5元。

……

 

解题过程

解题时，首先要写出表达式，通常是多项的乘积，每项由多个x^y组成。如(1+x+x^2)(1+x^4+x^8)(x^5+x^10+x^15)。

通用表达式为

(x^(v[0]*n1[0])+x^(v[0]*(n1[0]+1))+x^(v[0]*(n1[0]+2))+...+x^(v[0]*n2[0]))
(x^(v[1]*n1[1])+x^(v[1]*(n1[1]+1))+x^(v[1]*(n1[1]+2))+...+x^(v[1]*n2[1]))
...
(x^(v[K]*n1[K])+x^(v[K]*(n1[K]+1))+x^(v[K]*(n1[K]+2))+...+x^(v[K]*n2[K]))

K对应具体问题中物品的种类数。

v[i]表示该乘积表达式第i个因子的权重，对应于具体问题的每个物品的价值或者权重。

n1[i]表示该乘积表达式第i个因子的起始系数，对应于具体问题中的每个物品的最少个数，即最少要取多少个。

n2[i]表示该乘积表达式第i个因子的终止系数，对应于具体问题中的每个物品的最多个数，即最多要取多少个。

对于表达式(1+x+x^2)(x^8+x^10)(x^5+x^10+x^15+x^20)，v[3]={1,2,5}，n1[3]={0,4,1}，n2[3]={2,5,4}。

解题的关键是要确定v、n1、n2数组的值。

通常n1都为0，但有时候不是这样。

n2有时候是无限大。

之后就实现表达式相乘，从第一个因子开始乘，直到最后一个为止。此处通常使用一个循环，循环变量为i。每次迭代的计算结果放在数组a中。计算结束后，a[i]表示权重i的组合数，对应具体问题的组合数。

循环内部是把每个因子的每个项和a中的每个项相乘，加到一个临时的数组b的对应位（这里有两层循环，加上最外层循环，总共有三层循环），之后就把b赋给a。

这些过程通常直接套用模板即可。

通用模板

下面我直接给出通用模板：

//为计算结果，b为中间结果。
int a[MAX],b[MAX];
//初始化a
memset(a,0,sizeof(a));
a[0]=1;
for (int i=1;i<=17;i++)//循环每个因子
{
	memset(b,0,sizeof(b));
	for (int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=P;j++)//循环每个因子的每一项
		for (int k=0;k+j*v[i]<=P;k++)//循环a的每个项
			b[k+j*v[i]]+=a[k];//把结果加到对应位
	memcpy(a,b,sizeof(b));//b赋值给a
}

P是可能的最大指数。拿钞票组合这题来说，如果要求15元有多少组合，那么P就是15；如果问最小的不能拼出的数值，那么P就是所有钱加起来的和。P有时可以直接省略。具体请看本文后面给出的例题。

 

如果n2是无穷，那么第二层循环条件j<=n2[i]可以去掉。

 

如何提高效率？

用一个last变量记录目前最大的指数，这样只需要在0..last上进行计算。

这里给出第二个模板：

//初始化a，因为有last，所以这里无需初始化其他位
a[0]=1;
int last=0;
for (int i=0;i<K;i++)
{
	int last2=min(last+n[i]*v[i],P);//计算下一次的last
	memset(b,0,sizeof(int)*(last2+1));//只清空b[0..last2]
	for (int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=last2;j++)//这里是last2
		for (int k=0;k<=last&&k+j*v[i]<=last2;k++)//这里一个是last，一个是last2
			b[k+j*v[i]]+=a[k];
	memcpy(a,b,sizeof(int)*(last2+1));//b赋值给a，只赋值0..last2
	last=last2;//更新last
}

转自:https://blog.youkuaiyun.com/xiaofei_it/article/details/17042651