组合数学常用内容——Polya定理+Burnside引理

Burnside引理

设G是N{1,2，.....，n}上的置换群，G在N上可引出不同的等价类（在置换群中有置换的都等价），其不同的等价类的个数为L

L=1/|G|*（c1(a1)+...c1(ai)...+c1(ag)）c1表示置换ai作用过后不变的方案数，也就是置换中循环节长度是1的循环个数

（N中的元素是组合方案的序号不是自然数！此置换群是关于所有着色图像（所有可能的情况）集合N的置换）

Burnside应用关键：如何构造置换群（图形上来说一般为根据中心点，对称轴进行旋转和翻转）

缺陷：置换是作用在所有方案上的，如果颜色数量过多，方案随之剧增，Burnside无能为力；

Polya定理

设G是n个对象的一个置换群（此置换群是关于所有被着色对象集合的置换），用m种颜色对这n个对象进行着色，则不同的染色方案数为l

l=1/|G|*(m^c(a1)+...m^c(ai)+...m^c(an)) c表示ai置换的循环节数量

当着色方案有具体限制条件时一般用Burnside引理而不用Polya定理

Polya定理的母函数形式

设N是n个对象的集合，G是N上的置换群，G={P1,P2,...,Pg}，用m种颜色b1,b2,...bm对n个对象进行着色

设Ck(P)为置换P中k循环，令Sk=b1^k+b2^k+...+bm^k,k=1,2,...n（Sk为每种颜色允许出现k次），则具体着色方案数的多项式为：
    P=1/|G|*∑(Pi∈G)(S1^c1(Pi)*S2^c2(Pi)*...*Sn^cn(Pi))

展开并合并同类项之后，b1^i1*b2^i2*...*bm^im前的系数即为具体着色方案数。

常用多面体的置换群

正四面体（顶点数：4，棱数：6）

1、以顶点为目标的转动群：
    以顶点—面心为轴：(1)1  (3)1  8个置换群；
    以棱中—棱中为轴：(2)2  3个置换群；
    不动：(1)4  1个置换群；

2、以棱为目标的转动群：
    以顶点—面心为轴：(3)2  8个置换群；
    以棱中—棱中为轴：(1)2  (2)2  3个置换群；
    不动：(1)6  1个置换群；

3、以面为目标的转动群：
    以顶点—面心为轴：(1)1  (3)1  8个置换群；
    以棱中—棱中为轴：(2)2  3个置换群；
    不动：(1)4 1个置换群；

正六面体（顶点数：8，棱数：12）

1、以顶点为目标的转动群：
    以顶点—顶点为轴：(1)2  (3)2  8个置换群；
    以棱中—棱中为轴：(2)4  6个置换群；
    以面心—面心为轴：(4)2  6个置换群；
                  (2)4  3个置换群；
    不动：（1）8  1个置换群；

2、以棱为目标的转动群：
    以顶点—顶点为轴：(3)4  8个置换群；
    以棱中—棱中为轴：(1)2  (2)5  6个置换群；
    以面心—面心为轴：(4)3  6个置换群；
                  (2)6  3个置换群；
    不动：(1)12  1个置换群；

3、以面为目标的转动群：
    以顶点—顶点为轴：(3)2  8个置换群；
    以棱中—棱中为轴：(2)3  6个置换群；
    以面心—面心为轴：(1)2  (4)1  6个置换群；
                  (1)2  (2)2  3个置换群；
    不动：(1)6  1个置换群；

正八面体（顶点数：6，棱数：12）

1、以顶点为目标的转动群：
    以顶点—顶点为轴：(1)2  (4)1  6个置换群；
                  (1)2  (2)2  3个置换群；
    以棱中—棱中为轴：(2)3  6个置换群；
    以面心—面心为轴：(3)2  8个置换群；
    不动：(1)6  1个置换群；
2、以棱为目标的转动群：
    以顶点—顶点为轴：(4)3  6个置换群；
                  (2)6  3个置换群；
    以棱中—棱中为轴：(1)2  (2)5  6个置换群；
    以面心—面心为轴：(3)4  8个置换群；
    不动：(1)12  1个置换群；
3、以面为目标的转动群：
    以顶点—顶点为轴：(4)3  6个置换群；
                  (2)6  3个置换群；
    以棱中—棱中为轴：(2)3  6个置换群；
    以面心—面心为轴：(1)2  (3)2  8个置换群；
    不动：(1)8  1个置换群；

足球（顶点数：60，棱数：90；五边形：12；六边形：20）

1、以顶点为目标的转动群：
    以五边形面心—五边形面心为轴：(5)12  24个置换群；
    以棱中—棱中为轴：(2)30  15个置换群；
    以六边形面心—六边形面心为轴：(3)20  20个置换群；
    不动：(1)60  1个置换群；

2、以棱为目标的转动群：
    以五边形面心——五边形面心为轴：(5)18  24个置换群；
    以棱中—棱中为轴：(1)2  (2)44  15个置换群；
    以六边形面心—六边形面心为轴：(3)30  20个置换群；
    不动：(1)90  1个置换群；

Polya+Burnside引理应用示例

多面体类（以六面体为例）

分析：

首先重要的是要弄清楚正方体的旋转，共24种变换。

1、静止不动，那么就是12个循环，每个循环节长度为1

2、通过两个对立的顶点，分别旋转120，240，有4组顶点，在每一次旋转当中，可以发现分为4个循环，每个循环节长度为3，直观的说，就是有3条边是交换的，颜色必须一样。

3、通过两个对立面的中心，分别旋转90，180，270度。有3组面在每次旋转90度和270度的时候，可以发现分为3个循环，每个循环节长度为4在每次旋转180度的时候，可以发现分为6个循环，每个循环节长度为2

4、通过两条对立的棱的中心，分别旋转180度，有6组棱在每次旋转的时候，分为6个循环，每个循环节长度为2

有了以上基础之后，便是对于每一个置换，求出等价的种数。

这里通过组合数来确定，以上说了，是将12条边分为若干个循环，每个循环的颜色相同。转换成n个物品放入n个集合的种数。

下面来看代码：

#define N 1000000000
#define inf 1<<29
#define MOD 9973
#define LL long long
int a[7],b[7];
LL c[15][15];
//处理每K条边必须颜色相同
//总共把边分为12/k组
LL slove(int k){
    int n=0;
    LL sum=1;
    for(int i=0;i<6;i++)
        if(b[i]%k==0){
            b[i]/=k;
            n+=b[i];
        }
        else
            return 0;
    //总共n组，然后通过组合数确定方案数
    for(int i=0;i<6;i++){
        sum*=c[n][b[i]];
        n-=b[i];
    }
    return sum;
}
LL still_slove(){
    memcpy(b,a,sizeof(a));
    //静止不到，不需要有边相同
    return slove(1);
}
LL point_slove(){
    memcpy(b,a,sizeof(a));
    //有4组顶点，每个轴可以转120以及160度
    //每组旋转，循环节长度为3，3条边的颜色一样
    return 4*2*slove(3);
}
LL plane_slove(){
    //3有组对面，可以旋转90度和270度
    //每次旋转，要求4条边颜色相同
    memcpy(b,a,sizeof(a));
    LL ans=3*2*slove(4);
    memcpy(b,a,sizeof(a));
    //3组对面，旋转180度
    //每次旋转要求两条边颜色相同
    return ans+3*slove(2);
}
LL edge_slove(){
    LL ans=0;
    for(int i=0;i<6;i++)
        for(int j=0;j<6;j++){
            //围绕棱旋转，有两条棱是不变的，先除掉
            memcpy(b,a,sizeof(a));
            b[i]--;b[j]--;
            if(b[i]<0||b[j]<0) continue;
            //6组对棱，每次旋转180度
            //每次旋转，两条边相同
            ans+=6*slove(2);
        }
    return ans;
}
LL Polya(){
    LL ans=0;
    //第一种静止不动
    ans+=still_slove();
    //第二种过某顶点以及相对的顶点的轴旋转
    ans+=point_slove();
    //第三种过某个面以及相对的面的轴旋转
    ans+=plane_slove();
    //第四种过某条棱以及相对的棱为轴旋转
    ans+=edge_slove();
    return ans/24;
}
//预处理组合数
void Init(){
    for(int i=0;i<=12;i++){
        c[i][0]=c[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1]);
    }
}
int main(){
    Init();
    int t,k;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=0;i<12;i++){
            scanf("%d",&k);
            a[k-1]++;
        }
        printf("%lld\n",Polya());
    }
    return 0;
}

---

环类

分析：

置换及循环节数的计算方法：对于有n个位置的手镯，有n种旋转置换和n种翻转置换：

对于旋转置换：c(fi) = gcd(n,i)  i为一次转过i颗宝石（ i = 0 时 c=n;）

对于翻转置换：如果n为偶数：c(f) = n/2 的置换有n/2个;
                       c(f) = n/2+1 的置换有n/2个;
            如果n为奇数：c(f) = n/2+1.

下面来看代码：

int Gcd(int a,int b){
    return b?Gcd(b,a%b):a;
}

double Polgy(int n){
    int i;
    double sum=0,tmp;
    if(n==0)
        return 0;
    //旋转置换的情况
    for(i=1;i<=n;i++){
        tmp=Gcd(i,n);
        sum+=pow(3.0,Gcd(i,n));
    }
    //翻转置换的情况
    if(n%2==0){
        sum+=pow(3.0,n/2+1)*n/2;
        sum+=pow(3.0,n/2)*n/2;
    }
    else{
        sum+=pow(3.0,n/2+1)*n;
    }
    return sum/2/n;
}

int main(){
    int n;
    while(cin>>n && n!=-1){
        cout<<(int)Polgy(n)<<endl;
    }
}