前言：用几道题来带你熟悉搜索、递归和dfs，题目都来自洛谷网站
一、第一题：烤鸡
题目背景
猪猪 Hanke 得到了一只鸡。
题目描述
猪猪 Hanke 特别喜欢吃烤鸡（本是同畜牲，相煎何太急！）Hanke 吃鸡很特别，为什么特别呢？因为他有 10种配料（芥末、孜然等），每种配料可以放 1到 3 克，任意烤鸡的美味程度为所有配料质量之和。
现在， Hanke 想要知道，如果给你一个美味程度 n，请输出这 10种配料的所有搭配方案。
输入格式
一个正整数 nn，表示美味程度。
输出格式
第一行，方案总数。
第二行至结束，10个数，表示每种配料所放的质量，按字典序排列。
如果没有符合要求的方法，就只要在第一行输出一个 0。
输入输出样例
输入
11输出
10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1说明/提示
对于 100%100% 的数据，n≤5000
1.分析题义
1.首先：一共有10中调料，每种调料只能放1-3g，所以n最少10g，最多30g，其他的直接输出0就可以了
2.其次：每次符合题意的一组数据一共有10个，所以我们也可以采取按位置选数的方法来解题（按位置选数就是每个位置都有三种1g,2g,3g，依次选择）
3.输出有两行，第一次先输出总的方案数，然后输出具体的方案数，所以我们要先把每一个符合题意的方案数保存在一个二维数组中
4.剪枝：如果还没搜索到第十个位置，美味程度就已经比n大了，就直接剪枝就可以了。
2.开始写代码
#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 5000;
int n;
int res = 0;//记录总的方案数
int arr[N][12];//最后的总方案
int tmp[11];//临时存储方案
void dfs(int x, int sum)//x表示递归到了那个位置 sum指的是美味程度
{
if (sum > n)
{
return;//sum>n就直接剪枝
}
if (x > 10)
{
if (sum == n)
{
res++;
for (int i = 1; i <= 10; i++)
{
arr[res][i] = tmp[i];
}
}
return;
}
for (int i = 1; i <= 3; i++)
{
tmp[x] = i;
dfs(x + 1, sum + i);
tmp[x] = 0;
}
}
int main(void)
{
cin >> n;
if (n > 30 || n < 10)
{
cout << "0" << endl;
}
else
{
dfs(1, 0);
cout << res << endl;
for (int i = 1; i <= res; i++)
{
for (int j = 1; j <= 10; j++)
{
cout << arr[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
}
return 0;
}3.最后的深化代码
我们发现上面的代码通过不了所有的测试用例，不是超时或是其他问题，这时我们就要想我们的代码范围是否包含了所有的可能结果：
一共有十个位置，每个位置有3个选择，所以一共的可能结果会产生3^10个，但是我们二维数组开的最大是5000，这是远远不够的，所以我们将范围放大之后会发现：
这次我们就通过了所有的测试样例：最后的代码是这样的：
#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 60000;
int n;
int res = 0;
int arr[N][12];
int tmp[11];
void dfs(int x,int sum)
{
if (sum > n)
{
return;
}
if (x > 10)
{
if (sum == n)
{
res++;
for (int i = 1; i <= 10; i++)
{
arr[res][i] = tmp[i];
}
}
return;
}
for (int i = 1; i <= 3; i++)
{
tmp[x] = i;
dfs(x + 1, sum + i);
tmp[x] = 0;
}
}
int main(void)
{
cin >> n;
if (n > 30 || n < 10)
{
cout << "0" << endl;
}
else
{
dfs(1,0);
cout << res << endl;
for (int i = 1; i <= res; i++)
{
for (int j = 1; j <= 10; j++)
{
cout << arr[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
}
return 0;
}二、第二题：火星人
题目描述
人类终于登上了火星的土地并且见到了神秘的火星人。人类和火星人都无法理解对方的语言，但是我们的科学家发明了一种用数字交流的方法。这种交流方法是这样的，首先，火星人把一个非常大的数字告诉人类科学家，科学家破解这个数字的含义后，再把一个很小的数字加到这个大数上面，把结果告诉火星人，作为人类的回答。
火星人用一种非常简单的方式来表示数字――掰手指。火星人只有一只手，但这只手上有成千上万的手指，这些手指排成一列，分别编号为 1,2,3,⋯。火星人的任意两根手指都能随意交换位置，他们就是通过这方法计数的。
一个火星人用一个人类的手演示了如何用手指计数。如果把五根手指――拇指、食指、中指、无名指和小指分别编号为 1,2,3,4 和 5，当它们按正常顺序排列时，形成了 5位数12345，当你交换无名指和小指的位置时，会形成 5位数 12354，当你把五个手指的顺序完全颠倒时，会形成 54321，在所有能够形成的 120 个 5位数中，12345 最小，它表示 1；12354 第二小，它表示 2；54321 最大，它表示 120。下表展示了只有 33 根手指时能够形成的 6 个 3 位数和它们代表的数字：
| 三进制数 | 代表的数字 |
|---|---|
| 123 | 1 |
| 132 | 2 |
| 213 | 3 |
| 231 | 4 |
| 312 | 5 |
| 321 | 6 |
现在你有幸成为了第一个和火星人交流的地球人。一个火星人会让你看他的手指，科学家会告诉你要加上去的很小的数。你的任务是，把火星人用手指表示的数与科学家告诉你的数相加，并根据相加的结果改变火星人手指的排列顺序。输入数据保证这个结果不会超出火星人手指能表示的范围。
输入格式
共三行。
第一行一个正整数 N，表示火星人手指的数目（1≤N≤10000）。
第二行是一个正整数 M，表示要加上去的小整数（1≤M≤100）。
下一行是 1 到 N 这 N个整数的一个排列，用空格隔开，表示火星人手指的排列顺序。
输出格式
N 个整，表示改变后的火星人手指的排列顺序。每两个相邻的数中间用一个空格分开，不能有多余的空格。
输入输出样例
输入
5 3 1 2 3 4 5
输出
1 2 4 5 3
说明/提示
对于 30%的数据，N≤15
对于 60% 的数据，N≤50
对于 100%的数据，N≤10000
1.分析题意
1.首先该题涉及的问题：第一点是1-N的每一个数是选还是不选，第二点是1-N个数的全排列问题（当然全排列就涉及选和不选问题）
2.输入给出的排列不一定是第一个，而是这N个数的一个排列，所以我们剪枝的时候可以想办法从这里入手,并且如何让程序从给的那个排列开始递归也是一个问题
3.输出排列顺序后直接退出程序就可以了，不需要继续递归下去，要不然会超时，一个测试用例也通过不了
2.开始写代码
#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 10010;
int mars[N];//存放给定的一个排序
int arr[N];//存放方案
bool sta[N];//记录选或没选
int res = 0;//存放方案数
int n, m;
void dfs(int x)
{
if (x > n)
{
res++;
if (res == m + 1)
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cout << arr[i] << " ";
}
cout << endl;
exit(0);
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
#if 1
if (!res)
{
i = mars[x];
}
#endif
if (!sta[i])
{
sta[i] = true;
arr[x] = i;
dfs(x + 1);
arr[x] = 0;
sta[i] = false;
}
}
}
int main(void) {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> mars[i];
}
dfs(1);
return 0;
}这里我想着重讲解一下这一块代码：
#if 0 if (!res) { i = mars[x]; } #endif这块代码就是很巧妙的让我们的程序直接从给定的排列开始递归，想确实刚学习递归的同学很难想到，但是很容易看懂
三、第三题：火柴棒等式
题目描述
给你 n根火柴棍，你可以拼出多少个形如 A+B=C的等式？等式中的 A、B、C 是用火柴棍拼出的整数（若该数非零，则最高位不能是 0）。用火柴棍拼数字 0∼9的拼法如图所示：
注意：
- 加号与等号各自需要两根火柴棍；
- 如果 A≠B，则 A+B=C与 B+A=C视为不同的等式（A,B,C≥0）；
- n 根火柴棍必须全部用上。
输入格式
一个整数 n(1≤n≤24)。
输出格式
一个整数，能拼成的不同等式的数目。
输入输出样例
输入
14
输出
2
输入
18
输出
9
说明/提示
【输入输出样例 1 解释】
2 个等式为 0+1=1 和 1+0=1。
【输入输出样例 2 解释】
9 个等式为
0+4=4、0+11=11、1+10=11、2+2=4、2+7=9、4+0=4、7+2=9、10+1=11、11+0=11。
1.分析题意
1.首先看输入n的范围是1-24，也就是说去掉加号和等号最多有20根火柴数，我们可以使试图想一下我们可以枚举到哪个数
2.A+B=C其实相当于排列问题（一共有三个位置，每个位置有N种选择），但是检验是否符合题意要看看A+B是否等于C
3.当还没有枚举到第三个位置，所用的棍子数就已经超过了n，就要剪枝return掉
4.我们知道0-10用掉的火柴数，但是10--之后的火柴数怎样计算是个问题，我会用两种方式解决这个问题
2.开始写代码
#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 10000;
int arr[N];
int stand[N] = { 6,2,5,5,4,5,6,3,7,6 };
int n;
int res = 0;
#if 0
int col(int x)
{
if (stand[x])
return stand[x];
else
{
int sum_value = 0;
while (x)
{
sum_value += stand[x % 10];
x /= 10;
}
return sum_value;
}
}
#endif
void dfs(int x, int sum)
{
if (sum > n)
{
return;
}
if (x > 3)
{
if (sum == n && arr[1] + arr[2] == arr[3])
{
res++;
}
return;
}
for (int i = 0; i <= 1000; i++)
{
arr[x] = i;
dfs(x + 1,sum+stand[i]);
arr[x] = 0;
}
}
int main(void)
{
cin >> n;
n -= 4;
for (int i = 10; i <= 1000; i++)
{
stand[i] = stand[i % 10] + stand[i / 10];
}
dfs(1, 0);
cout << res << endl;
return 0;
}
拿出来两段代码讲一下：
- 这一段是传统的计算9以上的要用到的火柴棍数，模10除10，这个很容易理解
int col(int x) { if (stand[x]) return stand[x]; else { int sum_value = 0; while (x) { sum_value += stand[x % 10]; x /= 10; } return sum_value; } }
- 但是下面这个类似于斐波那契数列中的那个缩短时间的限制：比如我们要求f(5)要知道发f(3)和f(4),要求f(4)就要知道f(3)和f(2)，所以我们要求两次f(3),这样就会浪费时间。
- 所以就像这个题，我们可以提前求一下10以后所用的火柴数目。
for (int i = 10; i <= 1000; i++) { stand[i] = stand[i % 10] + stand[i / 10]; }
以上就是三道关于递归、搜索的小题。有不足之处请大家指出！感谢！
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