rmq

本文介绍RMQ算法原理及其应用,该算法可用于区间最值查询,通过预处理所有可能的区间最值来加速查询过程,复杂度为O(nlogn)。

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rmq主要用于区间最值查询,算法复杂度O(nlogn)。

运用rmq算法,我们可以先预处理出所有的区间最值,即:有n个数字,当我们需要多次查询(l,r)(1=<l,r<=n)区间内的最值时 ,我们就可以用rmq解决。

 

核心代码:

 

void RMQ(int num) //预处理  
{  
    for(int j = 1; j < 20; ++j)  
        for(int i = 1; i <= num; ++i)  
            if(i + (1 << j) - 1 <= num)  
            {  
                maxsum[i][j] = max(maxsum[i][j - 1], maxsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);  
                minsum[i][j] = min(minsum[i][j - 1], minsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);  
            }  
}  


这一部分就是我们的预处理,主要是用dp解决的,这里有点类似区间dp吧。

 

假使我们现在有数组a :

1 2 4 6 5 2 1 

数组f[i,j]代表,我们区间的(i,i+j^2-1) 区间的最值, 即我们以i位置开头,长度为j^2的区间的最值。

 

for(int j = 1; j < 20; ++j) 

这里我们的第一层for,枚举的是层数,也可以说是区间的长度, 因为我们递推时 用两个len1 推出一个len2,用两个len2 推出一个len4 以此类推 。

 

 

for(int i = 1; i <= num; ++i)

第二层for我们枚举的是区间的起点位置。

 

这样  当我们求区间(1,4)时,就相当于求 max or min((1,2),(3,4))。

 

然后对于区间(1,3),我们是怎么处理的呢,= max or min((1,2),(2,3)),在这里我们需要寻找最小的可以覆盖目标区间的2^x*2。

 

这样我们就可以利用原来我们dp的预处理来解决我们的问题,这也算是rmq一个优化的地方吧。

查询:(i,j) -》因为这里区间的长度为j-i+1,所以我们可以取k=log2(j-i+1),有 (i,j)=max or min ((f(i,k)),(j-2^k+1,k))。

 

 

RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题是指在给定的一个序列中,多次查询某个区间内的最小值或最大值的问题。这类问题在计算机科学中有广泛的应用,尤其是在需要高效处理大量数据的情况下。 ### 原理 RMQ问题可以通过多种算法来解决,其中最著名的是稀疏表(Sparse Table, ST)算法。ST算法的核心思想是利用动态规划预先计算出所有可能的区间长度为$2^j$的区间的最小值或最大值,这样可以在常数时间内完成每次查询[^3]。具体来说,对于一个数组`A`,我们构建一个二维数组`f`,其中`f[i][j]`表示从位置`i`开始,长度为$2^j$的区间中的最小值或最大值。预处理阶段的时间复杂度为$O(n \log n)$,而查询阶段的时间复杂度为$O(1)$[^4]。 ### 实现方法 #### 预处理 预处理阶段主要是填充`f`数组。假设原数组`A`的长度为`n`,则对于每个`i`从`1`到`n`,以及`j`从`1`到$\log_2(n)$,我们有: $$ f[i][j] = \min(f[i][j-1], f[i+2^{j-1}][j-1]) $$ 这里的`min`可以替换为`max`,取决于我们需要求解的是最小值还是最大值。此外,还需要计算对数表`log_table`,用于后续查询时确定合适的`k`值,即最大的整数使得$2^k \leq r-l+1$。 ```cpp // 初始化log_table for (int i = 1; i <= n; ++i) { log_table[i] = floor(log(i) / log(2)); } ``` #### 查询 当进行查询时,给定区间`[l, r]`,我们可以找到最大的整数`k`使得$2^k \leq r-l+1$。然后,使用预处理好的`f`数组来获取两个长度为$2^k$的区间的最小值或最大值,并取这两个值中的最小值或最大值作为最终结果。 ```cpp // 查询[l, r]区间内的最小值 int query(int l, int r) { int len = r - l + 1; int k = log_table[len]; return min(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]); } ``` 上述代码片段展示了如何通过预处理和查询来实现RMQ问题的解决方案。需要注意的是,这里的`min`函数也可以被替换成`max`函数,以适应不同的需求。此外,实际应用中还需要考虑边界条件和其他细节[^5]。
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