拉格朗日乘子法、KKT条件与拉格朗日对偶

最新推荐文章于 2025-04-16 09:15:00 发布
原创 最新推荐文章于 2025-04-16 09:15:00 发布 · 372 阅读 · 5 ·
CC 4.0 BY-SA版权
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
文章标签：

#机器学习 #优化方法 #拉格朗日

博客提供了约束优化方法中拉格朗日乘子法与KKT条件，以及拉格朗日对偶的参考资料，链接分别指向博客园的相关文章。
拉格朗日乘子法 & KKT条件
满腹的小不甘
08-08 7625
目录 1. 拉格朗日乘子法用于最优化的原因 2. 最优化问题三种情况 2.1 无约束条件 2.2 等式约束条件：拉格朗日乘子法 2.3 不等式约束条件：KKT 3. Lagrange对偶函数 3.1对偶函数与原问题的关系 3.2 Lagrange对偶问题 （1）弱对偶性 （2）强对偶性 （3）KKT条件 在求解最优化问题中，拉格朗日乘子法（Lagrange...
一文详解从拉格朗日乘子法、KKT条件、对偶上升法到罚函数与增广Lagrangian乘子法再到ADMM算法（交替方向乘子法）
weixin_46768538的博客
10-28 6429
最近看了ADMM算法，发现这个算法需要用到许多不少前备知识，在搜索补齐这些知识的过程中感觉网上的资料与总结在零散的同时又不够清晰，在此本文对这一块的内容进行汇总，同时表达自己的一些理解。 拉格朗日乘子法 本段内容参考了拉格朗日(Lagrange)乘子法超简说明。 先从物理意义上介绍拉格朗日乘子法。 原问题 我们要解决带有等式约束的最优化问题。为方便书写，以二维函数为例： maxf(x,y),s.t.g(x,y)=0 用下图表示这个问题。 f(x,y)参数x,y在二维平面内，存...
SVM(二）拉格朗日对偶问题
weixin_30430169的博客
05-11 1830
2 拉格朗日对偶（Lagrange duality） 先抛开上面的二次规划问题，先来看看存在等式约束的极值问题求法，比如下面的最优化问题： 目标函数是f(w)，下面是等式约束。通常解法是引入拉格朗日算子，这里使用来表示算子，得到拉格朗日公式为 L是等式约束的个数。 然后分别对w和求偏导，使得偏导数等于0，然...
拉格朗日乘子法、KKT条件、拉格朗日对偶性
zt741743的博客
09-24 664
拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier) 拉格朗日乘子法是一种寻找有等式约束条件的函数的最优值(最大或者最小)的最优化方法.在求取函数最优值的过程中,约束条件通常会给求取最优值带来困难,而拉格朗日乘子法就是解决这类问题的一种强有力的工具. 单约束问题 考虑以下的二维单约束优化问题: maximizemaximize f(x,y)f(x,y) subjectsubject tot...
机器学习系列 08：深入理解拉格朗日乘子法、KKT 条件和拉格朗日对偶性
步入人工智能
12-26 1303
本内容将介绍支持向量机（SVM） 中需要使用的基础知识：拉格朗日乘子法、KKT 条件 和 拉格朗日对偶性。
拉格朗日对偶
喜欢打酱油的老鸟
08-21 2315
对偶是最优化方法里的一种方法，它将一个最优化问题转换成另外一个问题，二者是等价的。拉格朗日对偶是其中的典型例子。对于如下带等式约束和不等式约束的优化问题：   与拉格朗日乘数法类似，构造广义拉格朗日函数：    必须满足 的约束。原问题为：       即先固定住x，调整拉格朗日乘子变量，让函数L取极大值；然后控制变量x，让目标函数取极小值。原问题与我们要优化的原始问题是等...
拉格朗日乘子法与KKT条件
ZhuNian的学习乐园
06-08 1596
一、凸优化问题 1凸集与凸函数 2凸优化问题 二、拉格朗日乘子法与KKT条件 1无约束优化 2约束优化定义 3等式约束 4不等式约束 4.1极小值点落在可行域内(不包含边界) 4.2极小值点落在可行域外(包含边界) 4.3总结. 5约束优化总结 6优化问题的总结 参考资料
凸优化课程学习笔记项目_包含凸集凸函数对偶理论优化算法拉格朗日乘子法KKT条件数值实验代码实现_用于系统掌握凸优化理论基础与实践应用辅助数学与计算机学科学习者深入理解优化问题_基于.zip
最新发布
09-15
在算法层面，项目重点讲述了拉格朗日乘子法，这是一种处理带有等式或不等式约束优化问题的方法。拉格朗日乘子法的引入可以将有约束的优化问题转化为无约束问题，极大地简化了问题的求解过程。在理论讲解的同时，项目...
拉格朗日乘子法和KKT条件
weixin_39910711的博客
04-23 2921
1 无约束优化 对于无约束优化问题中，如果一个函数f是凸函数，那么可以直接通过f(x)的梯度等于0来求得全局极小值点。 为了避免陷入局部最优，人们尽可能使用凸函数作为优化问题的目标函数。 凸集定义：欧式空间中，对于集合中的任意两点的连线，连线上任意一点都在集合中，我们就说这个集合是凸集。 凸函数定义：对于任意属于[0,1]的a和任意属于凸集的两点x, y，有f( a...
拉格朗日对偶问题详解
11-18
拉格朗日乘子法是优化问题中常用的方法，但为什么又牵涉到对偶问题，这篇讲义给出了详尽的解答！
SVM之拉格朗日乘子法对偶的推导
11-14
这是手工推导的SVM的推导过程，其中对拉格朗日乘子的对偶问题做了详细的推导
拉格朗日对偶问题
sjtu_wyy的博客
04-16 1579
拉格朗日对偶问题是通过将原优化问题的约束条件转化为目标函数的一部分，构建对偶函数，并通过对偶函数的最大化来逼近原问题的最优解。本文从数学推导和直观理解两个方面综合解释拉格朗日对偶问题，容易理解且理论完整
【机器学习】数学知识：拉格朗日对偶（Lagrange Duality）
IT古董
02-11 903
拉格朗日对偶（Lagrange Duality）是优化理论中的一个重要方法，用于将约束优化问题转换为更易求解的对偶问题。它在凸优化、经济学、机器学习（如 SVM）等领域有广泛应用。拉格朗日对偶是一种强大的数学工具，帮助优化问题转换成更容易求解的形式。
拉格朗日对偶性详解（手推笔记）
见见大魔王
04-01 8312
个人原创笔记，转载请附上本文链接。 拉格朗日对偶性其实也没有那么难理解，在我梳理过后你会发现也就是那一回事罢了。 围绕着拉格朗日对偶性探讨的整个流程下来，实际上牵扯到 三个问题： 原始问题，我们记作 P。 拉格朗日函数的极小极大问题，我们记作 P'。（后来会发现 极小极大问题 与 原始问题 是等价的） 拉格朗日函数的极大极小问题，我们记作 D。 以及需要注意的 p* 与 d* 之间的关...
拉格朗日对偶方法求解线性规划
白发空垂三千丈
12-22 1907
求偏导数并令其等于零，我们可以求得最优的。将这些表达式代入拉格朗日函数，得到对偶函数。带入这些表达式，得到原始问题的最优解。构建拉格朗日函数，格式为目标函数加上带。通过之前求解拉格朗日函数的最优解关于。求偏导数并令其等于零，得到最优解。通过解这个方程组，我们可以得到。通过对拉格朗日函数对。通过对拉格朗日函数对。在这个例子中，很显然。
拉格朗日乘子法与KKT
02-16
### 拉格朗日乘子法与KKT条件的关系 在处理带有约束的最优化问题时，拉格朗日乘子法和KKT条件分别适用于不同类型的约束情况。具体来说： #### 拉格朗日乘子法的应用场景 当面对的是等式约束下的最优化问题时，采用拉格朗日乘子法能够有效地解决问题。通过引入额外变量（称为拉格朗日乘数），可以构建一个新的函数——拉格朗日函数，从而将原始问题转换成无约束形式以便求解[^1]。 对于给定的目标函数 \(f(x)\)，以及一组等式约束 \(h_i(x)=0\) （\(i=1,...,m\)），可以通过定义如下所示的拉格朗日表达式来进行分析： \[ L(x,\lambda) = f(x)+\sum_{i=1}^{m}\lambda_i h_i(x), \] 其中 \(\lambda_i\) 表示对应第 i 个等式的拉格朗日乘数。为了找到极值点，需要满足一阶导数等于零的要求，即 \[\nabla_xL=\mathbf{0},\quad\nabla_\lambda L=h_i(x).\] #### KKT条件的作用范围 相比之下，如果遇到含有不等式约束的情况，则应考虑使用更广泛的框架—KKT条件。这些条件不仅涵盖了上述提到的拉格朗日乘子法所涉及的内容，还包括了针对不等式约束的一些特定规则。因此，在实际操作过程中，只要涉及到任何形式上的约束（无论是等号还是小于/大于关系），都可以借助KKT条件来寻找可能存在的局部最优解[^2]。 设有一个最小化问题，其目标函数为 \(f_0(x)\)，并伴有若干线性和非线性的不等式约束 \(g_j(x)\leqslant0(j=1,…,p)\) 及等式约束 \(h_k(x)=0(k=1,…,q)\)，则对应的广义拉格朗日函数可表示为： \[ L(x,\alpha ,\beta )=f_0(x)+\sum _{{j=1}}^{{p}}{\alpha }_jg_j(x)+\sum _{{k=1}}^{{q}}{\beta }_kh_k(x). \] 此时，要使得某一点成为候选最优解，必须同时满足以下几项准则： - **可行性**：所有原初约束均需成立； - **互补松弛性**：对于每一个不等式约束而言，要么它严格取负值 (\(g_j<0\))，要么相应的拉格朗日系数正好为零 (\({\alpha}_j=0\)); - **梯度正交性**：如同之前讨论过的那样，目标函数与各活动边界处切平面之间的夹角应当垂直； - **对偶间隙消失**：强对偶性质得以保持，意味着不存在任何未被充分利用的信息源。 值得注意的是，只有当目标函数呈现凸特性的时候，由这两种方法得出的结果才会构成全局意义上的最佳解答；而在其他情形下，它们所提供的仅仅是潜在的可行方案之一而已[^3]。 ```python def lagrange_multiplier_method(f, constraints_eq): """ 使用拉格朗日乘子法解决具有等式约束的最优化问题 参数: f : 目标函数 constraints_eq : 列表形式存储的一系列等式约束 返回: 解向量 x* """ pass def kkt_conditions(f, constraints_ineq=None, constraints_eq=None): """ 应用KKT条件评估含有一般型约束的最佳策略 参数: f : 目标函数 constraints_ineq : 不等式约束列表，默认为空 constraints_eq : 等式约束列表，默认为空 返回: 符合KKT条件的解集 {x*, α*, β*} """ pass ```
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值