(十一)OpenCV实现图像频率域滤波

1.基础

见《数字图像处理第四版》P137-P209

1.1傅里叶变换Fourier Transform

Fourier Transform由法国的一位数学家和物理学家Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)提出，主要包括适用于周期函数的傅里叶级数(Fourier Serier)和应用于非周期函数(曲线下面积有限)的傅里叶变换。

• 傅里叶级数
  傅里叶级数是指，周期为$T$的连续变量$t$的周期信号$f(t)$,可表示为乘以适当系数的正弦函数和余弦函数之和。
  借助欧拉公式和欧拉恒等变换，
  

能将傅里叶级数表示成复数指数的形式,其形式为，

其中，系数$c_n$可表示为:$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-\frac{2\pi nt}{T}}dt,n=0,\pm 1,\pm 2,...$，$j=\sqrt{-}1$
从傅里叶级数的的公式可以看出，周期函数被分解成了使用不同频率，幅度，相角的正弦和/或余弦函数表示的形式。能够将信号从时域在频域上展开来进行分析。这正是傅里叶变换的意义，关于其形象化的描述可参考

• 连续函数的傅里叶变换
  
  非周期函数可看成周期是无穷大的函数，参考傅里叶级数中$c_n$，其频率和系数幅度之间的关系，即傅里叶变换，可表示为：
  
  $F(\mu )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j2\pi \mu t}dt$

1.2卷积定理

连续变量t的两个连续函数$f(t)$和$h(t)$的卷积的定义为：

$(f\star h)(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )h(t-\tau )d\tau$


其中，$-\tau$表示对卷积核函数旋转180度，$t$是一个函数滑过另一个函数的位移，$\tau$是积分虚拟变量。上式的傅里叶变换表示为：


式中方括号内是$h(t-\tau )$的傅里叶变换，$F(h(t-\tau ))=H(\mu )e^{-j2\pi \mu \tau }$,$H(\mu )$是$h(t)$的傅里叶变换，式（5）可表示为：
式中$\bullet$表示相乘，$\zeta$表示傅里叶变换。

由上式可知，空间域中两个函数的卷积的傅里叶变换，等于频域中两个函数的傅里叶变换的乘积。反之，如果有频域中两个傅里叶变换的乘积，可以通过计算傅里叶反变换得到空间域的卷积。综上，卷积定理可以表示为:

$(f\star h)(t)\iff (F\bullet H)(\mu )$

$(f\bullet h)(t)\iff (F\star H)(\mu )$

1.3冲激函数及其取样性质

连续变量$t$在$t=0$处的单位冲激表示为$\delta t$,表示为：


冲激函数满足如下性质：

• 满足恒等式：${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1$
• 取样性质：${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-t_0)dt=f(t_0)$，取样性质只是得到$f(t)$在冲激位置$t_0$处的值。

实际对$f(t)$取样时，需要使用一系列冲激信号，以$\Delta T$为间隔进行取样，由此可定义冲击串：


上述，将$t$解释为连续时间变量,对于离散变量，冲激函数定义为：

满足的性质等效于：

• 恒等式：- 取样性质：

1.4冲激和冲激串的傅里叶变换

根据连续单变量函数傅里叶变换的定义，$\delta (t)$函数的傅里叶变换可表示为：

ζ { δ ( t ) } = F ( μ ) = ∫ − ∞ ∞ δ ( t ) e − j 2 π μ t d t = ∫ − ∞ ∞ e − j 2 π μ t δ ( t ) d t = e − j 2 π μ 0 = 1 \zeta \{\delta(t)\}=F(\mu)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-j2\pi \mu t}dt=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi \mu t}\delta(t)dt=e^{-j2\pi \mu 0}=1 ζ{ δ(t)}=F(μ)=∫−∞∞​δ(t)e−j2πμtdt=∫−∞∞​e−j2πμtδ(t)dt=e−j2πμ0=1

在$t=t_0$处，一个冲激的傅里叶变换为：

ζ { δ ( t − t 0 ) } = F ( μ ) = ∫ − ∞ ∞ δ ( t − t 0 ) e − j 2 π μ t d t = ∫ − ∞ ∞ e − j 2 π μ t δ ( t − t 0 ) d t = e − j 2 π μ t 0 \zeta \{\delta(t-t_0)\}=F(\mu)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)e^{-j2\pi \mu t}dt=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi \mu t}\delta(t-t_0)dt=e^{-j2\pi \mu t_0} ζ{ δ(t−t0​)}=F(μ)=∫−∞∞​δ(t−t0​)e−j2πμtdt=∫−∞∞​e−j2πμtδ(t−t0​)dt=e−j2πμt0​

为了得到离散信号，通常需要使用周期冲激串来进行采样，因此推导离散信号的傅立叶变换时需要先求得周期冲激串的傅立叶变换。

首先，由上面的定义的傅立叶变换和反变换可知，若函数$f(t)$有傅立叶变换$F(\mu )$,则函数$F(t)$的傅里叶变换为$f(-\mu )$,由此性质,冲激$\delta (t-t_0)$的傅立叶变换为$e^{-j2\pi \mu t_0}$，则$e^{-j2\pi \mu t_0}$的傅里叶变换为 δ ( − μ − t 0 ) \delta(-\mu-t_0) δ(−μ−t