Good Bye 2015 D. New Year and Ancient Prophecy（dp+LCP）

最新推荐文章于 2018-07-28 20:13:19 发布

TaoSama

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分类专栏：动态规划文章标签： dp lcp

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/lwt36/article/details/50594344

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本文介绍了一种解决大数字分割问题的算法，通过动态规划的方法计算一个大数字可以被分割成严格递增数字序列的方法数量，并提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意:

$给定一个N\le 5\times 10^3的大数字, 保证大数字的第一位不是0, 现在要把它分割成数字序列, 数字序列中的数字满足以下要求:$
$1. 数字序列中的数字严格递增$
$2. 数字序列中的数字都是正数且不含前导0$
求分割的方法数

分析:

$考虑f[i][j]:=大数字分割成数字序列, 且最后一个数字为\{i\cdots j\}的方法数$
$显然ans = \sum_{i=1}^n f[i][n], 枚举最后一个数字加和$
$假设前一个数字为\{a\cdots i-1\}, 如果L_{last}<L_{cur},这个数字必然满足要求$
$即(i-1)-a<j-i\Rightarrow a>2i-j-1\Rightarrow a\ge 2i-j, 即f[i][j]+=\sum_{a=2i-j}^{i-1}f[a][i-1], 这个我们维护一个前缀和就好$
$对于这个唯一的L_{last}=L_{cur}, 我们要快速判断其大小, 只要维护一个lcp[i][j]就好$

代码:

//
//  Created by TaoSama on 2016-01-27
//  Copyright (c) 2015 TaoSama. All rights reserved.
//
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <vector>

using namespace std;
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
const int N = 5e3 + 10, INF = 0x3f3f3f3f, MOD = 1e9 + 7;

int n;
char s[N];
int lcp[N][N], f[N][N], prefix[N][N];

void add(int &x, int y) {
    if((x += y) >= MOD) x -= MOD;
}

//prefix[i][j] = sum(f[1...i][j])
void update(int i, int j) {
    add(prefix[i][j], prefix[i - 1][j] + f[i][j]);
}

int sum(int k, int i, int j) {
    int ret = prefix[j][k] - prefix[max(i - 1, 0)][k];
    if(ret < 0) ret += MOD;
    return ret;
}

bool smaller(int i, int j, int len) {
    if(lcp[i][j] >= len) return false;
    return s[i + lcp[i][j]] < s[j + lcp[i][j]];
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("C:\\Users\\TaoSama\\Desktop\\in.txt", "r", stdin);
//  freopen("C:\\Users\\TaoSama\\Desktop\\out.txt","w",stdout);
#endif
    ios_base::sync_with_stdio(0);

    while(scanf("%d%s", &n, s + 1) == 2) {
        memset(lcp, 0, sizeof lcp);
        for(int i = n; i; --i)
            for(int j = n; j; --j)
                if(s[i] == s[j]) lcp[i][j] = lcp[i + 1][j + 1] + 1;

        memset(prefix, 0, sizeof prefix);
        for(int i = 1; i <= n; ++i) f[1][i] = 1, update(1, i);
        for(int i = 2; i <= n; ++i) {
            for(int j = i; j <= n; ++j) {
                if(s[i] == '0') f[i][j] = 0;
                else {
                    int len = j - i + 1;
                    int b = i - 1, a = b - len + 1;
                    f[i][j] = sum(b, a + 1, b);
                    if(a > 0 && smaller(a, i, len)) add(f[i][j], sum(b, a, a));
                }
                update(i, j);
            }
        }
        int ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i) add(ans, f[i][n]);
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}