26考研——排序_选择排序_堆排序（8）

408答疑

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四、选择排序

堆排序

堆的概念

堆(Heap)是一类特殊的数据结构，堆结构采用数组顺序形式存储，可以被视为一棵完全二叉树。堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值，因此堆有大小堆之分。将根结点最大的堆叫做大堆或大根堆，根结点最小的堆叫做小堆或小根堆。堆又叫做优先级队列。

堆的定义

• $n$ 个关键字序列 $L[\mathrm{1...}n]$ 称为堆，当且仅当该序列满足：

  1. $L(i)\ge L(2i)$ 且 $L(i)\ge L(2i+1)$ 或
  2. $L(i)\le L(2i)$ 且 $L(i)\le L(2i+1)(1\le i\le \lfloor n/2\rfloor )$

• 大根堆：满足条件 1 的堆称为大根堆，大根堆的最大元素存放在根结点，且其任意一个非根结点的值小于或等于其双亲结点值。

• 小根堆：满足条件 2 的堆称为小根堆，小根堆的定义刚好相反，根结点是最小元素。

如下图所示为一个大根堆和一个小根堆示意图：

堆排序思路

• 首先将存放在数组中的 $n$ 个元素建成初始堆，因为堆本身的特点（以大顶堆为例），所以堆顶元素就是最大值。输出堆顶元素后，通常将堆底元素送入堆顶，此时根结点已不满足大顶堆的性质，堆被破坏，将堆顶元素向下调整使其继续保持大顶堆的性质，再输出堆顶元素。如此重复，直到堆中仅剩一个元素为止。

• 堆排序需要解决的问题：

  1. 如何将无序序列构造成初始堆？
  2. 输出堆顶元素后，如何将剩余元素调整成新的堆？

堆的操作

分类

• 整体数据建堆：从最后一个分支开始调整，直到根节点调整完毕。

• 插入数据：向上调整（插入数据永远只在末尾位置插入）。

• 删除数据：向下调整（删除数据永远只在堆顶删除）。

整体数据建堆

堆排序的关键是构造初始堆。$n$ 个结点的完全二叉树，最后一个结点是第 $\lfloor n/2\rfloor$ 个结点的孩子。对以第 $\lfloor n/2\rfloor$ 个结点为根的子树筛选（对于大根堆，若根结点的关键字小于左右孩子中关键字较大者，则交换），使该子树成为堆。之后向前依次对以各结点 $\lfloor n/2\rfloor -1\sim 1$ 为根的子树进行筛选，看该结点值是否大于其左右子结点的值，若不大于，则将左右子结点中的较大值与之交换，交换后可能会破坏下一级的堆，于是继续采用上述方法构造下一级的堆，直到以该结点为根的子树构成堆为止。反复利用上述调整堆的方法建堆，直到根结点。

构建堆的调整过程（自下往上逐步调整为大根堆）

构建堆的过程中，需要通过一系列的比较和交换操作来确保每个子树都满足堆的定义。以下是构建堆的详细步骤：

• 初始调整 $L(4)$ 子树：比较 $L(4)$ 的值（09）与其子节点的值（32），因为 $09<32$，所以交换这两个值，使子树满足堆的定义。

• 继续调整 $L(3)$ 子树：比较 $L(3)$ 的值（78）与其左右孩子的较大者（65 和 87），因为 $78<87$，所以交换这两个值，使子树满足堆的定义。

• 调整 $L(2)$ 子树：比较 $L(2)$ 的值（17）与其左右孩子的较大者（32 和 45），因为 $17<45$，所以交换这两个值，使子树满足堆的定义。

• 调整根结点 $L(1)$：
  • 比较 $L(1)$ 的值（53）与其左右孩子的较大者（45 和 87），因为 $53<87$，所以交换这两个值，使子树满足堆的定义。
  • 交换后破坏了 $L(3)$ 子树的堆，采用上述方法对 $L(3)$ 进行调整，比较 $L(3)$ 的值（53）与其左右孩子的较大者（65 和 78），因为 $53<78$，所以交换这两个值，使子树满足堆的定义。

通过这些步骤，最终构建了一个满足堆定义的完全二叉树。

插入数据

堆也支持插入操作。对堆进行插入操作时，先将新结点放在堆的末端，再对这个新结点向上执行调整操作。

• 在插入新元素后，需要进行向上调整以保持堆的性质。具体操作如下：
  1. 将新元素添加到堆的末尾。
  2. 比较新元素与其父节点的值。
  3. 如果新元素大于父节点，则交换两者。
  4. 重复步骤 2 和 3，直到新元素不再需要上移或到达堆顶。

大根堆的插入操作示例

假设有一个大根堆，插入新元素后，需要从底部开始向上调整，直到新元素找到合适的位置。这个过程可能涉及多次比较和交换操作，以确保堆的性质得以维持。

删除数据

输出堆顶元素后，将堆的最后一个元素与堆顶元素交换，此时堆的性质被破坏，需要向下进行筛选。将 09 和左右孩子的较大者 78 交换，交换后破坏了 $L(3)$ 子树的堆，继续对 $L(3)$ 子树向下筛选，将 09 和左右孩子的较大者 65 交换，交换后得到了新堆，调整过程如图所示。

堆的应用

堆排序

堆排序是一种高效的排序算法，适用于关键字较多的数据排序。其基本过程如下：

• 排序过程：每次将堆顶元素与堆的最后一个元素交换（注意不是存储空间的最后一个元素，而是堆结构中的最后一个有效结点），然后对堆进行一次向下调整，反复循环，直到堆的所有元素排序完成。

• 升序排序：构建大根堆。

• 降序排序：构建小根堆。

• 升序排序示例如下图所示：
  

topk 问题

topk 问题是一个求前k个最值问题，可以借助堆结构进行筛选。

• 求topK的最大值：构建小堆。
• 求topK的最小值：构建大堆。

例题：现有 1亿 个不重复的数，求出前 100 个最大值。

• 首先使用一个大小为 100 的数组，读入前 100 个数，建立小顶堆，而后依次读入余下的数，若小于堆顶则舍弃，否则用该数取代堆顶并重新调整堆，待数据读取完毕，堆中 100 个数为所求。

堆排序算法的性能分析

• 空间效率：仅使用了常数个辅助单元，所以空间复杂度为 $O(1)$。
• 时间效率：建堆时间为 $O(n)$，之后有 $n-1$ 次向下调整操作，每次调整的复杂度为 $O(h)$，所以在最好、最坏和平均情况下，堆排序的时间复杂度为 $O(n{\log }_{2}n)$。
• 稳定性：进行筛选时，有可能把后面相同关键字的元素调整到前面，所以堆排序算法是一种不稳定的排序算法。例如，表 L = { 1 , 2 1 , 2 2 } L = \{1, 2_1, 2_2\} L={1,21​,22​}，构造初始堆时可能将 $2_1$ 交换到堆顶，此时 L = { 2 1 , 1 , 2 2 } L = \{2_1, 1, 2_2\} L={21​,1,22​}，最终排序序列为 L = { 1 , 2 2 , 2 1 } L = \{1, 2_2, 2_1\} L={1,22​,21​}，显然，$2_1$ 与 $2_2$ 的相对次序已发生变化。
• 适用性：堆排序仅适用于顺序存储的线性表。

九、参考资料

鲍鱼科技课件

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网课全程班:

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