26考研——查找_树形查找_平衡二叉树（AVL）（7）

408答疑

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三、树形查找

平衡二叉树（AVL）

平衡二叉树的概念和性质

• AVL 树的定义：平衡二叉树可定义为或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的高度差的绝对值不超过 1。
• 图示说明：
  • 如下图(1)所示是平衡二叉树，图(2)所示是不平衡的二叉树。
  • 结点中的数字为该结点的平衡因子。

• AVL 树的平衡条件：任意节点的左右子树的高度差不能超过1，即 $|bf|\le 1$。

• 平衡因子 $bf$ 的计算：一般使用左树高度减去右树高度。

• 平衡因子 $bf$ 的值：只能为 -1, 0, 1。

平衡二叉树的平衡调整

1. AVL 树最重要的特点就是要保持平衡，如果树形结构不平衡，则需要调整平衡。
2. 能影响 AVL 树平衡的因素只有两个，插入节点和删除节点。
3. 如果插入节点或者删除节点导致 AVL 不平衡，则需要调整平衡，调整的手段为旋转节点。
4. 旋转分为：单旋转（左单旋转、右单旋转）、双旋转（先左后右、先右后左）。

旋转情形

如下图所示，结点旁的数值代表结点的平衡因子，而用方块表示相应结点的子树，下方数值代表该子树的高度。

1. LL 旋转（右单旋转）：
   • 在结点 $A$ 的左孩子（L）的左子树（L）上插入了新结点，$A$ 的平衡因子由 1 增至 2，导致以 $A$ 为根的子树失去平衡，需要一次向右的旋转操作。
   • 将 $A$ 的左孩子 $B$ 向右上旋转代替 $A$ 成为根结点，将 $A$ 向右下旋转成为 $B$ 的右孩子，$B$ 的原右子树则作为 $A$ 的左子树。

2. RR 旋转（左单旋转）：
   • 在结点 $A$ 的右孩子（R）的右子树（R）上插入了新结点，$A$ 的平衡因子由 -1 减至 -2，导致以 $A$ 为根的子树失去平衡，需要一次向左的旋转操作。
   • 将 $A$ 的右孩子 $B$ 向左上旋转代替 $A$ 成为根结点，将 $A$ 向左下旋转成为 $B$ 的左孩子，$B$ 的原左子树则作为 $A$ 的右子树。

3. LR 旋转（先左后右双旋转）：
   • 在 $A$ 的左孩子（L）的右子树（R）上插入新结点，$A$ 的平衡因子由 1 增至 2，导致以 $A$ 为根的子树失去平衡，需要进行两次旋转操作，先左旋转后右旋转。
   • 先将 $A$ 的左孩子 $B$ 的右子树的根结点 $C$ 向左上旋转提升到 $B$ 的位置，然后把结点 $C$ 向右上旋转提升到 $A$ 的位置。

4. RL 旋转（先右后左双旋转）：
   • 在 $A$ 的右孩子（R）的左子树（L）上插入新结点，$A$ 的平衡因子由 -1 减至 -2，导致以 $A$ 为根的子树失去平衡，需要进行两次旋转操作，先右旋转后左旋转。
   • 先将 $A$ 的右孩子 $B$ 的左子树的根结点 $C$ 向右上旋转提升到 $B$ 的位置，然后把结点 $C$ 向左上旋转提升到 $A$ 的位置。

LR 和 RL 旋转时，新结点究竟是插入 C 的左子树还是插入 C 的右子树不影响旋转过程，如上图中以插入 C 的左子树中为例。

平衡二叉树的插入

插入节点的过程

1. 插入节点之前，必须保证AVL树是平衡的。
2. 查找新插节点的位置，新插节点一定为叶子节点，平衡因子 $bf=0$。
3. 修改父节点的平衡因子 $bf$。
4. 考察父节点的平衡因子，有三种情况：
   • 情况1：父节点 $bf=0$，结束调整。
   • 情况2：父节点 $|bf|=1$，向根的方向继续回溯。
   • 情况3：父节点 $|bf|=2$，发生不平衡，判断平衡因子的符号，进行旋转调整。

• 调整对象：每次调整的对象都是最小不平衡子树，即以插入路径上离插入结点最近的平衡因子的绝对值大于 1 的结点作为根的子树，下图中虚线框内为最小不平衡子树。

平衡二叉树的构造

• 序列示例：以关键字序列 {15, 3, 7, 10, 9, 8} 构造一棵平衡二叉树的过程为例。

• 插入节点 7：下图(4)插入 7 后导致不平衡，最小不平衡子树的根为 15，插入位置为其左孩子的右子树，所以执行 LR 旋转，先左后右双旋转，调整后的结果如下图(5)所示。

• 插入节点 9：下图(7)插入 9 后导致不平衡，最小不平衡子树的根为 15，插入位置为其左孩子的左子树，所以执行 LL 旋转，右单旋转，调整后的结果如下图(8)所示。

• 插入节点 8：下图(9)插入 8 后导致不平衡，最小不平衡子树的根为 7，插入位置为其右孩子的左子树，所以执行 RL 旋转，先右后左双旋转，调整后的结果如下图(10)所示。

平衡二叉树的删除

与平衡二叉树的插入操作类似，以删除结点 $w$ 为例来说明平衡二叉树删除操作的步骤：

1. 用二叉排序树的方法对结点 $w$ 执行删除操作。
2. 若导致了不平衡，则从结点 $w$ 开始向上回溯，找到第一个不平衡的结点 $z$（即最小不平衡子树）；$y$ 为结点 $z$ 的高度最高的孩子结点；$x$ 是结点 $y$ 的高度最高的孩子结点。
3. 然后对以 $z$ 为根的子树进行平衡调整，其中 $x$、$y$ 和 $z$ 可能的位置有 4 种情况：
   • $y$ 是 $z$ 的左孩子，$x$ 是 $y$ 的左孩子（LL，右单旋转）；
   • $y$ 是 $z$ 的左孩子，$x$ 是 $y$ 的右孩子（LR，先左后右双旋转）；
   • $y$ 是 $z$ 的右孩子，$x$ 是 $y$ 的右孩子（RR，左单旋转）；
   • $y$ 是 $z$ 的右孩子，$x$ 是 $y$ 的左孩子（RL，先右后左双旋转）。

这四种情况与插入操作的调整方式一样。不同之处在于，插入操作仅需要对以 $z$ 为根的子树进行平衡调整；而删除操作就不一样，先对以 $z$ 为根的子树进行平衡调整，若调整后子树的高度减 1，则可能需要对 $z$ 的祖先结点进行平衡调整，甚至回溯到根结点（导致树高减 1）。

以删除下图(1)的结点 32 为例，由于 32 为叶结点，直接删除即可，向上回溯找到第一个不平衡结点 44（即 $z$），$z$ 的高度最高的孩子结点为 78（$y$），$y$ 的高度最高的孩子结点为 50（$x$），满足 RL 情况，先右后左双旋转，调整后的结果如图(3)所示。

平衡二叉树的结点数分析

• 查找过程：在平衡二叉树上进行查找的过程与二叉排序树的相同。因此，在查找过程中，进行关键字的比较次数不超过树的深度。

• 结点数计算：假设以 $n_h$ 表示深度为 $h$ 的平衡二叉树中含有的最少结点数。显然，有 $n_0=0,n_1=1,n_2=2$，并且有 $n_h=n_{h-2}+n_{h-1}+1$，如下图所示，依次推出 $n_3=4,n_4=7,n_5=12,\cdots$。

• 最大深度：含有 $n$ 个结点的平衡二叉树的最大深度为 $O({\log }_{2}n)$，因此平均查找效率为 $O({\log }_{2}n)$。

二叉排序树的查找效率分析

二叉排序树的查找效率主要取决于树的高度。以下是不同情况下二叉排序树的查找效率分析：

平衡二叉树

• 若二叉排序树的左、右子树的高度之差的绝对值不超过 1（平衡二叉树），它的平均查找长度为 $O({\log }_{2}n)$。

单支树

• 若二叉排序树是一个只有右（左）孩子的单支树（类似于有序的单链表），则其平均查找长度为 $O(n)$。

最坏情况

• 在最坏情况下，即构造二叉排序树的输入序列是有序的，则会形成一个倾斜的单支树，此时二叉排序树的性能显著变坏，树的高度也增加为元素个数 $n$，如下图所示。

• 上图 (1) 查找成功的平均查找长度为 $AS{L}_1=(1+2\times 2+3\times 4+4\times 3)/10=2.9$
• 上图 (2) 查找成功的平均查找长度为 $AS{L}_2=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)/10=5.5$

从查找过程看，二叉排序树与二分查找相似。就平均时间性能而言，二叉排序树上的查找和二分查找差不多。但二分查找的判定树唯一，而二叉排序树的查找不唯一，相同的关键字其插入顺序不同可能生成不同的二叉排序树。

就维护表的有序性而言，二叉排序树无须移动结点，只需修改指针即可完成插入和删除操作，平均执行时间为 $O({\log }_{2}n)$。二分查找的对象是有序顺序表，若有插入和删除结点的操作，所花的代价是 $O(n)$。当有序表是静态查找表时，宜用顺序表作为其存储结构，而采用二分查找实现其查找操作；若有序表是动态查找表，则应选择二叉排序树作为其逻辑结构。

六、参考资料

鲍鱼科技课件

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