26考研——排序_归并排序、基数排序和计数排序_归并排序（8）

408答疑

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五、归并排序、基数排序和计数排序

归并排序

概述

归并排序与交换、选择等排序的思想不一样，归并的含义是将两个或两个以上的有序表合并成一个新的有序表。假定待排序表含有 $n$ 个记录，则可将其视为 $n$ 个有序的子表，每个子表的长度为 1，然后两两归并，得到 $\lceil n/2\rceil$ 个长度为 2 或 1 的有序表；继续两两归并……如此重复，直到合并成一个长度为 $n$ 的有序表为止，这种排序算法称为二路归并排序。

如下图所示为二路归并排序的一个例子，经过三趟归并后合并成了有序序列。

归并排序思想的应用

• Merge() 的功能是将前后相邻的两个有序表归并为一个有序表。设两段有序表 A[low…mid]、A[mid+1…high] 存放在同一顺序表中的相邻位置，先将它们复制到辅助数组 B 中。每次从 B 的两段中取出一个记录进行关键字的比较，将较小者放入 A 中，当 B 中有一段的下标超出其对应的表长（即该段的所有元素都已复制到 A 中）时，将另一段的剩余部分直接复制到 A 中。
• 一趟归并排序的操作是，调用 $\lceil n/2h\rceil$ 次算法 Merge()，将 L[1…n] 中前后相邻且长度为 $h$ 的有序段进行两两归并，得到前后相邻、长度为 $2h$ 的有序段，整个归并排序需要进行 $\lceil {\log }_{2}n\rceil$ 趟。

递归形式的二路归并排序算法是基于分治的，其过程如下：

1. 分解：将含有 $n$ 个元素的待排序表分成各含 $n/2$ 个元素的子表，采用二路归并排序算法对两个子表递归地进行排序。
2. 合并：合并两个已排序的子表得到排序结果。

性能分析

• 空间效率：Merge() 操作中，辅助空间刚好为 $n$ 个单元，因此算法的空间复杂度为 $O(n)$。
• 时间效率：每趟归并的时间复杂度为 $O(n)$，共需进行 $\lceil {\log }_{2}n\rceil$ 趟归并，因此算法的时间复杂度为 $O(n{\log }_{2}n)$。
• 稳定性：由于 Merge() 操作不会改变相同关键字记录的相对次序，因此二路归并排序算法是一种稳定的排序算法。
• 适用性：归并排序适用于顺序存储和链式存储的线性表。

注意事项

• 一般而言，对于 $N$ 个元素进行 $k$ 路归并排序时，排序的趟数 $m$ 满足 $k^m=N$，从而 $m={\log }_{k}N$，又考虑到 $m$ 为整数，因此 $m=\lceil {\log }_{k}N\rceil$。这和前面的二路归并排序算法是一致的。

九、参考资料

鲍鱼科技课件

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