莫比乌斯反演-数字表格题解

最新推荐文章于 2021-10-31 15:41:54 发布

luyan0408

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文章标签：莫比乌斯反演

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/luyan0408/article/details/105937209

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题目

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分析

初步变形

这道题其实是求：

$\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{m}{fib_{gcd(i,j)}}$

和别的莫比乌斯反演题目不同之处在于：它是累乘不是累加

但是转念一想，底数累乘实际上就是指数的累加，所以我们可以这样做：

$=\prod_{d=1}^{n}{fib_d^{\sum_{d|i}^{n}\sum_{d|j}^{m}[gcd(i,j)=d]}}$

然后对于指数，我们把他拿下来单独处理：之后就都是套路了

$\sum_{d|i}^{n}\sum_{d|j}^{m}[gcd(i,j)=d]$

$=\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}{[gcd(i,j)=1]}$

$=\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}\sum_{k|gcd(i,j)}{μ(k)}$

$=\sum_{k=1}^{n/d}{μ(k)}*{(n/kd)}*{(m/kd)}$

于是答案就是：

$=\prod_{d=1}^{n}{fib_d^{\sum_{k=1}^{n/d}{μ(k)}*{(n/kd)}*{(m/kd)}}}$

这个便可以预处理莫比乌斯函数然后用整出分块做

但是这个的复杂度是 $o(n\sqrt{n})$ 还是过不了

第二步变形

这就涉及另一个套路了：

令 $T = k d$ ：

$=\prod_{d=1}^{n}{fib_d^{\sum_{k=1}^{n/d}{μ(k)}*{(n/kd)}*{(m/kd)}}}$

$=\prod_{T=1}^{n}\prod_{d|T}{(fib_d}^{μ(T/d)})^{(n/T)*(m/T)}$

其中指数的一部分可以用整出分块，把另一部分拿出来单独讨论：

$\prod_{d|T}{(fib_d}^{μ(T/d)})$

这是一个关于T的函数，而且可以预处理。

预处理方法就是：枚举d把 $fib_d^{μ(T/d)}$ 加到d的倍数T里面

不明白的看函数里面init

代码

下附AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int read(){
	char s;
	int x=0,f=1;
	while(s<'0'||s>'9'){
		if(s=='-')f=-1;
		s=getchar();
	}
	while(s>='0'&&s<='9'){
		x*=10;
		x+=s-'0';
		s=getchar();
	}
	return x*f;
}
const long long mod=1e9+7;
const long long N=1e6+5;
long long qpow(long long a,long long b){
	if(b==0)return (long long )1;
	long long rec=qpow(a,b/2)%mod;
	if(b&1)return rec*rec%mod*a%mod;
	return rec*rec%mod;
}
long long fib[N];//斐波那契数列
long long g[N];//fib的逆元 
bool flag[N];
int p[N],pn;
long long mu[N];
long long F[N];//F[n] = Π_d|n  fib(d)^mu(T/d)  
void init(int n){
	mu[1]=1;
	fib[1]=1;
	g[1]=1;
	F[0]=F[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		fib[i]=(fib[i-1]+fib[i-2])%mod;
		g[i]=qpow(fib[i],mod-2)%mod;
		F[i]=1;
		if(!flag[i]){
			p[pn++]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=0;j<pn,p[j]*i<=n;j++){
			flag[p[j]*i]=1;
			if(i%p[j]==0)break;
			else mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!mu[i])continue;
		for(int j=i;j<=n;j+=i){
			if(mu[i]==1){
				F[j]*=fib[j/i];
				F[j]%=mod;
			} 
			else{
				F[j]*=g[j/i];
				F[j]%=mod;
			}
		}
	}
	for(int i=2;i<=n;i++){
		F[i]=F[i-1]*F[i]%mod;
	}
}
int main(){
	int T=read();
	init(N-5);
	while(T--){
		int n,m;
		n=read(),m=read();
		if(n>m)swap(n,m);
		long long ans=1;
		for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
			r=min(n/(n/l),m/(m/l));
			long long inv=qpow(F[l-1],mod-2);
			ans*=qpow((F[r]*inv%mod),(long long)(n/l)*(m/l)%(mod-1))%mod;
			ans%=mod;
		}
		ans=(ans+mod)%mod;
		printf("%lld\n",ans);
	}
}