3D数学基础——四元数旋转公式的证明

文章出处： http://blog.youkuaiyun.com/ynnmnm/article/details/5568333

 

命题：设四元数 u = a*i + b*j + c*k ，且 u ^2 = -1 ；对于任意四元数 p ，以 u 为轴正向旋转（右手坐标系 中逆时针方向，左手坐标系中顺时针方向）θ角度，得到向量 p ’ ，则： p ’ = r * p * r ^(-1) ，其中 r = cos( θ /2) + sin( θ/2) * u 。

证明： r *r ^(-1) = 1 = r ^(-1) * r   ...... （ 1 ）

在方程（ 1 ）两边同时乘以 r 的共轭 r *，可以得到：

r *=  r ^(-1) * r * r * = r ^(-1) * |r| ^2  ...... （ 2 ）

又由： |r| ^2 = (cos( θ /2))^2 + (sin( θ /2))^2* （ a^2 + b^2 + c^2 ） = 1

得 r ^(-1)= r */ |r| ^2 = r * = cos( θ /2) - sin( θ /2) * u

 

如图所示， 设四元数 v 与 u 垂直，与 u ,p 共面，且 v ^2 = -1 ；四元数w = u * v ，则u , v , w 组成一个直角坐标系。

  

设p = s * u + t * v，

则r * p * r^(-1) = (cos(θ/2)+ sin(θ/2) * u ) * ( s * u + t * v ) * (cos(θ/2) - sin(θ/2) * u )

 = ( s * cos(θ/2)* u + t* cos(θ/2)*v - s* sin(θ/2) + t* sin(θ/2)*w ) * (cos(θ/2) - sin(θ/2) * u )

 = s* (cos(θ/2))^2* u + t* (cos(θ/2))^2*v - s* sin(θ/2)* cos(θ/2) + t* sin(θ/2)* cos(θ/2)*w

   + s* sin(θ/2)* cos(θ/2) + t* sin(θ/2)* cos(θ/2)*w - s*(sin(θ/2))^2*u - t*(sin(θ/2))^2*v

 = s*u + t* cos(θ)*v + t* sin(θ)*w

 

由此可知，p’是由p绕u正向旋转θ角度而得。