【HNOI/AHOI2018】毒瘤【容斥】【虚树/动态dp】

题意：$n$ 个点 $m$ 条边的连通无向图的独立集个数模 $998244353$。

$n\le 10^5,m\le n+10$

为什么标题要把两个算法写一起？因为这两个东西在这类问题上是本质相同的，这也是写这篇博客的原因。

显然是随便找棵树出来 dp，然后枚举非树边容斥。

设 $dp(u,0/1)$ 表示考虑 $u$ 的子树，$u$ 不选/选的方案

$$dp(u,0)=\prod _{v\in son(u)}(dp(v,0)+dp(v,1))$$

$$dp(u,1)=\prod _{v\in son(u)}dp(v,0)$$

用动态 dp 维护就可以了。但修改操作是乘 $0$ 和撤销乘 $0$，你需要记录乘的 $0$ 的个数，不是很好搞。这里介绍等价的虚树的做法。

考虑加入一个儿子 $v$，写成矩阵的形式

$$\left[\begin{array}{c}d{p}^{\prime }(u,0)\\ d{p}^{\prime }(u,1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}dp(v,0)+dp(v,1)& 0\\ 0& dp(v,0)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}dp(u,0)\\ dp(u,1)\end{array}\right]$$

这其实可以不用矩阵直接算出来。

因为有关于关键点的修改，我们希望维护这些信息来快速得到需要的 dp 值。所以我们建出关键点的虚树，维护虚树上每条边的转移系数。因为儿子的信息是不确定的（或者说是动态的），并且中途有加的操作，所以这里必须用矩阵。

对于这条边对应的原树路径，每向上走一步 ${\left[\begin{array}{cc}dp(u,0)& dp(u,1)\end{array}\right]}^T$ 产生的贡献就会变成 ${\left[\begin{array}{cc}dp(u,0)+dp(u,1)& dp(u,0)\end{array}\right]}^T$ ，对应转移矩阵为

$$S=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$

然后每走一步再加上不在虚树上的儿子的贡献。

设得到的转移矩阵为 $trans(u)$，每次更新的答案为 $ans(u)$ 那么

$$ans(u)=f(u)\prod _{(u,v)\in VirtualTree}trans(v)ans(v)$$

其中 $f(u)$ 为 $u$ 的不在虚树上的儿子的贡献。

开始听信题解区 $\mathrm{O}(n)$ 建虚树挂了，怎么都调不出来，然后极度愤怒的情况下换成 $\mathrm{O}(k\log k)$ 就过了……这个故事告诉我们考场上不要自己 yy 奇怪的算法。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <utility>
#include <algorithm>
#include <vector>
#define MAXN 100005
#define MAXM 200005
using namespace std;
inline int read()
{
	int ans=0;
	char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
	return ans;
}
const int MOD=998244353;
inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=MOD? x+y-MOD:x+y;}
inline int dec(const int& x,const int& y){return x<y? x-y+MOD:x-y;}
typedef long long ll;
inline int qpow(int a,int p)
{
	int ans=1;
	while (p)
	{
		if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;
		a=(ll)a*a%MOD,p>>=1;
	}
	return ans;
}
#define inv(x) qpow(x,MOD-2)
struct mat
{
	int e[2][2];
	inline mat(const int& v=0){e[0][0]=e[1][1]=v,e[0][1]=e[1][0]=0;}
	inline int* operator [](const int& i){return e[i];}
	inline const int* operator [](const int& i)const{return e[i];}	
};
mat S;
inline mat operator *(const mat& a,const mat& b)
{
	mat c;
	for (int i=0;i<2;i++)
		for (int k=0;k<2;k++)
			for (int j=0;j<2;j++)
				c[i][j]=(c[i][j]+(ll)a[i][k]*b[k][j])%MOD;
	return c;
}
typedef pair<int,int> pi;
vector<int> e[MAXN];
vector<pi> ex;
int dep[MAXN],fa[MAXN][20],siz[MAXN],key[MAXN],dfn[MAXN],tim;
int F[MAXN][2];
void dfs(int u,int f)
{
	dfn[u]=++tim,dep[u]=dep[fa[u][0]=f]+1;
	for (int i=1;i<20;i++) fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
	F[u][0]=F[u][1]=1;
	for (int i=0;i<(int)e[u].size();i++)
		if (e[u][i]!=f)
		{
			if (dfn[e[u][i]]) 
			{
				if (dfn[e[u][i]]<dfn[u]) continue;
				ex.push_back(make_pair(u,e[u][i]));
				e[u][i]=f;
				continue;
			}
			dfs(e[u][i],u);
			F[u][0]=(ll)add(F[e[u][i]][0],F[e[u][i]][1])*F[u][0]%MOD;
			F[u][1]=(ll)F[e[u][i]][0]*F[u][1]%MOD;
		}
}
inline int lca(int x,int y)
{
	if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	int t=dep[x]-dep[y];
	for (int i=0;(1<<i)<=t;i++) if (t&(1<<i)) x=fa[x][i];
	if (x==y) return x;
	for (int i=19;i>=0;i--)
		if (fa[x][i]!=fa[y][i])
			x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return fa[x][0];
}
mat dp[MAXN];
vector<int> lis,son[MAXN];
int col[MAXN],tmp[MAXN][2];
inline bool cmp(const int& x,const int& y){return dfn[x]<dfn[y];}
const int Rt=1;
int main()
{
	S[0][0]=S[0][1]=S[1][0]=1;
	int n,m;
	n=read(),m=read();
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u,v;
		u=read(),v=read();
		e[u].push_back(v),e[v].push_back(u);
	}
	dfs(Rt,0);
	for (int i=0;i<(int)ex.size();i++)	lis.push_back(ex[i].first),lis.push_back(ex[i].second);
	lis.push_back(Rt);
	sort(lis.begin(),lis.end(),cmp);
	int s=(int)lis.size(); 
	for (int i=0;i<s-1;i++) lis.push_back(lca(lis[i],lis[i+1]));
	sort(lis.begin(),lis.end(),cmp);
	lis.erase(unique(lis.begin(),lis.end()),lis.end());	
	for (int i=0;i<(int)lis.size();i++) key[lis[i]]=1;
	for (int i=0;i<(int)lis.size();i++)	
		for (int u=lis[i];u;++siz[u],u=fa[u][0]);
	for (int T=0;T<(int)lis.size();T++)
	{
		mat cur=mat(1);
		for (int v=lis[T],u=fa[v][0];u;v=u,u=fa[u][0])
		{
			if (key[u])
			{
				son[u].push_back(lis[T]);
				dp[lis[T]]=cur;
				break;
			}
			cur=S*cur;
			for (int i=0;i<(int)e[u].size();i++)
				if (!siz[e[u][i]]&&e[u][i]!=fa[u][0])
				{
					int a=add(F[e[u][i]][0],F[e[u][i]][1]),b=F[e[u][i]][0];
					cur[0][0]=(ll)cur[0][0]*a%MOD,cur[0][1]=(ll)cur[0][1]*a%MOD;
					cur[1][0]=(ll)cur[1][0]*b%MOD,cur[1][1]=(ll)cur[1][1]*b%MOD;
				}
		}
	}
	for (int t=0;t<(int)lis.size();t++)
	{
		int u=lis[t];
		F[u][0]=F[u][1]=1;
		for (int i=0;i<(int)e[u].size();i++)
			if (!siz[e[u][i]]&&e[u][i]!=fa[u][0])
			{
				F[u][0]=(ll)add(F[e[u][i]][0],F[e[u][i]][1])*F[u][0]%MOD;
				F[u][1]=(ll)F[e[u][i]][0]*F[u][1]%MOD;
			}
	}
	int k=(int)ex.size();
	int ans=0;
//	for (int i=0;i<k;i++) printf("%d %d\n",ex[i].first,ex[i].second);
//	for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d %d\n",F[i][0],F[i][1]);
	for (int S=0;S<(1<<k);S++)
	{
		int w=0;
		for (int i=0;i<k;i++) col[ex[i].first]=col[ex[i].second]=0;
	 	for (int i=0;i<k;i++) if (S&(1<<i)) col[ex[i].first]=col[ex[i].second]=1,w^=1;
		for (int T=(int)lis.size()-1;T>=0;T--)
		{
			int u=lis[T];
			tmp[u][0]=F[u][0],tmp[u][1]=F[u][1];
			for (int i=0;i<(int)son[u].size();i++)
			{
				tmp[u][0]=(ll)add(tmp[son[u][i]][0],tmp[son[u][i]][1])*tmp[u][0]%MOD;
				tmp[u][1]=(ll)tmp[son[u][i]][0]*tmp[u][1]%MOD;
			}
			if (col[u]) tmp[u][0]=0;
			if (u!=Rt)
			{
				mat t;
				t[0][0]=tmp[u][0],t[1][0]=tmp[u][1];
				t=dp[u]*t;
				tmp[u][0]=t[0][0],tmp[u][1]=t[1][0];
			}
		}
		int t=add(tmp[Rt][0],tmp[Rt][1]);
		if (w) ans=dec(ans,t);
		else ans=add(ans,t);
//		printf("%d\n",t);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}