数学之美—泰勒展开式

最新推荐文章于 2025-07-09 17:34:59 发布

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泰勒展开式是数学分析中的一个重要工具，它通过无穷级数来逼近光滑函数。本文介绍了泰勒公式的历史、推导过程、常见问题以及广泛应用，如求极限、导数、证明不等式等。理解泰勒公式的关键在于如何结合初始值信息来构建多项式函数，以接近原函数。

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1：背景
首先给大家介绍两位数学界泰斗：
在这里插入图片描述

麦克劳林，18世纪英国最具有影响的数学家之一。
他以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数学说，还把级数作为求积分的方法，以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法。他得到数学分析中著名的Maclaurin级数展开式，并用待定系数法给予证明。

在这里插入图片描述

泰勒，英国数学家。泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，由柯西给出的。

2：推导
第一次见到泰勒公式长这样，内心是不是崩溃的？
在这里插入图片描述
下面我们就用一种简单的方式来理解泰勒公式，让不简单变成简单！
相信大家都会求导吧，给定一个f(x)，都可以唯一确定一个导函数f '(

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