RMQ

一、了解算法

RMQ主要用于求一个较大区间内的最值，其思想便是利用二分和dp每次分别求左右区间的最大值，最后递推出结果

二、代码实现

1、递推状态

因为我们要求区间的最值，所以不妨建立一个二维数组来存储它们：f[i][j]。其中i表示从第i为起，j表示连续2^j个数。

所以f[i][j]表示从i位开始，连续2^j个数的最值。

e.g: 令一串数为2 5 4 3 8 9
则f[2][2]为5 4 3 8的最值

2、递推边界

根据上方的讲解，我们可快速找出递推边界

初始边界：f[i][0]为以i开始连续2^0个数，即为a[i]本身
所以f[i][0] = a[i]

for(int i = 1; i <= m; i++){
		f[i][0] = a[i];
	}

3、递推方程

由二分的思想可得到动态转移方程，详解如下：

同样以2 5 4 3 8 9为例

将这个数组二分便可以得到2 5 4与3 8 9，即把原数组分为i到i+2^{(j-1)-1和i+2}(j-1)到i+2^j-1两段

所以动态转移方程为

f[i][j] = (此处为最值)(f[i][j-1], f[i+(1<<(j-1))][j-1])

三、应用

1、查询最大或最小值

同样以2 5 4 3 8 9为例

问：区间【2,8】间的最大值？

由f数组的定义，区间【2,8】可转化为f[2][2],继而通过二分递推便可求出答案

所以现在的问题转化为如何将区间【2,8】变为f[2][2]?

首先，我们要引入一个函数log（需调用#include）

所以j = log2（末尾-首位+1）（即log2（8-2+1）=2）

2、实例应用

请跳至题目 P1816 忠诚
，这里就不再讲解，直接贴代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 10;
int a[MAXN], f[MAXN][20];
int main() {
   int m, n;
   cin >> m >> n;
   for(int i = 1; i <= m; i++)
   {
   	cin >> a[i];
   	f[i][0] = a[i];
   }
   for(int j = 1; (1<<j) <= m; j++){
   	for(int i = 1; (i + (1<<j)-1)<= m; i++) {
   		f[i][j] = min(f[i][j-1], f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
   	}
	}
   for(int i = 1; i <= n; i++) {
   	int x, y;
   	cin >> x >> y;
   	int k = log2(y-x+1);
   	y = y-(1<<k)+1;
   	cout << min(f[x][k], f[y][k]) << " ";
   }
   return 0;
}