P9583 涂色 题解

P9583 涂色 题解

解法

题中说求最终有多少个方格涂着颜色，那我们可以求有多少个方格没有颜色，用方格的总数减去没有颜色的方格数即为所求。

考虑本题涂色规律，涂上 $k$ 层颜料的方格其颜料会被擦去，这种操作的本质是对 $k$ 取模，所以没有颜色的方格即该方格所在的行、列被涂色的次数和可以被 $k$ 整除。

现在分别统计每个行、每个列的涂色次数，然后对行、列分别开两个桶，维护每行、每列的涂色次数对 $k$ 取模后的值。

然后枚举桶里的元素。设有 $rub{h}_i$ 个行的涂色次数对 $k$ 取模等于 $i$，$rub{l}_i$ 个列的涂色次数对 $k$ 取模等于 $i$，则想要让一个方格没有颜色，则必须满足 $han{g}_i+li{e}_i\equiv 0(\mathrm{mod}k)$，所以对于 $rub{h}_i$ 个行，只有 $rub{l}_{k-i}$ 个列与之匹配才能是没有颜色的方格，根据乘法原理，有 $rub{h}_i\times rub{l}_{k-i}$ 个方格没有颜色。特殊地，$rub{h}_0$ 与 $rub{l}_0$ 匹配。

求解公式即为 $rub{h}_0\times rub{l}_0+\sum _{i=1}^{i<k}rub{h}_i\times rub{l}_{k-i}$，时间复杂度 $\mathcal{O}(q+k)$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace fast_IO
{
	/*
	快读快写
	*/
};
using namespace fast_IO;
int n,m,q,k,hang[200010],lie[200010],rubh[500010],rubl[500010];
inline void delh(int x)
{
	if(x==k-1) rubh[x]--,rubh[0]++;
	else rubh[x]--,rubh[x+1]++;
}
inline void dell(int x)
{
	if(x==k-1) rubl[x]--,rubl[0]++;
	else rubl[x]--,rubl[x+1]++;
}
long long ans;
int main()
{
	read(n),read(m),read(q),read(k),rubh[0]=n,rubl[0]=m;
	for(int i=1,op,x;i<=q;i++)
	{
		read(op),read(x);
		if(op==1) hang[x]++,delh((hang[x]-1)%k);
		else lie[x]++,dell((lie[x]-1)%k);
	}
	ans+=1ll*rubh[0]*rubl[0];
	for(int i=1;i<k;i++) ans+=1ll*rubh[i]*rubl[k-i];
	cout<<1ll*n*m-ans;
	return 0;
}