AT4533 Deque 题解

题意

给定一个长度为 $n$ 的数列，两个人可以从数列的两端取数，每个人都选取最优解，第一个人取到的数的和为 $x$，第二个人取到的数的和为 $y$，求 $x-y$。

解决

本题和 这题 有些像，区间动态规划，时间复杂度 $O(n^2)$。

$f_{i,j}$ 表示在从 $i$ 到 $j$ 的区间里第一个人能取到的数的和的最大值。

同时要维护一个 $sum$ 数组，${sum}_{i,j}$ 表示在从 $i$ 到 $j$ 的区间里的数的和。

初始化过程如下：

$f_{i,i}=a_i$，${sum}_{i,i}=a_i$

动态规划过程如下：

循环枚举长度 $i$，循环枚举起始位置 $j$。

$f_{j,i+j}={sum}_{j,i+j}-\min (f_{j,i+j-1},f_{j+1,i+j})$

因为第一个人取到 $x=f_{1,n}$，而所有书的和为 ${sum}_{1,n}$，所以第二个人取到的数和为 $y={sum}_{1,n}-f_{1,n}$，所以结果 $x-y=f_{1,n}\times 2-{sum}_{1,n}$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,a[3010],f[3010][3010],sum[3010][3010];
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],sum[i][i]=a[i],f[i][i]=a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) sum[i][j]=sum[i][j-1]+a[j];
	for(int i=1;i<n;i++) for(int j=1;i+j<=n;j++)f[j][i+j]=sum[j][i+j]-min(f[j][i+j-1],f[j+1][i+j]);
	cout<<f[1][n]*2-sum[1][n];
	return 0;
}