P3138 [USACO16FEB]Load Balancing S 题解

题目大意

给定 $n$ 头奶牛，奶牛分布在农场上，每头奶牛的坐标为 $(x_i,y_i)$，其中 $x_i\equiv 1(\mathrm{mod}2)$ 且 $y_i\equiv 1(\mathrm{mod}2)$。

让你找出一条水平的线和一条竖直的线，分农场为四个区域，希望每个区域的奶牛数量平均。

求有最多奶牛的区域最少可以有说少头奶牛。

解法

二维前缀和加上离散化。

考虑到农场为 $10^6\times 10^6$ 的地图，无论是时间复杂度还是空间复杂度都太大，无法通过本题，又注意到本题只有 $n\le 10^3$，故考虑离散化处理。

对于每输入一组 $(x_i,y_i)$，我们存储它的坐标和输入顺序，以便确定该点离散后的位置。这里离散化可以使用 $sort$ 排序，记录排序后的位置即可（在这里之前存储每个点的输入顺序就有用了），新坐标为 $(n{x}_i,n{y}_i)$。

开始二位前缀和，$su{m}_{i,j}$ 表示坐标为 $(i,j)$ 的点前面（包括自己）有几头牛。

枚举每一个点，然后以该点为坐标原点建立平面直角坐标系，则四个象限的牛的头数分别为：

第二象限（左上）：$su{m}_{i,j}$。

第一象限（右上）：$su{m}_{i,n}-su{m}_{i,j}$。

第三象限（左下）：$su{m}_{n,j}-su{m}_{i,j}$。

第四象限（右下）：$su{m}_{n,n}+su{m}_{i,j}-su{m}_{i,n}-su{m}_{n,j}$。

把这四个象限的值取 $\max$ 然后与 $ans$ 比较取最小值即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void read(int &x)
{
	int f=1;
	char ch=getchar();
	x=0;
	for(;ch>57 || ch<48;ch=getchar()) if(ch==45) f=-1;
	for(;ch<=57 && ch>=48;ch=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
	x=x*f;
}
struct number{int order,num;};
number x[1010],y[1010];
bool cmp(number a,number b)
{
	return a.num<b.num;
}
int n,nx[1010],ny[1010],sum[1010][1010],ans=0x3f3f3f3f;
int main()
{
	read(n);
	for(register int i=1;i<=n;i++) read(x[i].num),read(y[i].num),x[i].order=y[i].order=i;
	sort(x+1,x+n+1,cmp),sort(y+1,y+n+1,cmp);
	for(register int i=1;i<=n;i++) nx[x[i].order]=i,ny[y[i].order]=i;//标记离散化后的位置 
	for(register int i=1;i<=n;i++) sum[nx[i]][ny[i]]++;
	for(register int i=1;i<=n;i++)//二维前缀和 
		for(register int j=1;j<=n;j++) sum[i][j]+=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];
	for(register int i=1;i<=n;i++)
		for(register int j=1;j<=n;j++)
			ans=min(ans,max(max(sum[i][j],sum[i][n]-sum[i][j]),max(sum[n][j]-sum[i][j],sum[n][n]+sum[i][j]-sum[i][n]-sum[n][j])));
	cout<<ans;
	return 0;
}