P8564 ρars/ey 题解

题目大意

给定一颗树，其中有 $n$ 个节点，根节点为 $1$。每次可以选择一个节点，其子树的大小为 $i$，删去该节点子树上的所有节点（不包括该节点），代价为 $va{l}_i$。

求：当删去了除 $1$ 节点以外的所有节点时，总代价最小为多少。

做法

考虑树形 dp。

规定 $f_{i,j}$ 数组表示在在 $i$ 节点的子树中删去 $j$ 个节点的代价最小值。显然，答案为 $f_{1,n-1}$，因为无法删去 $1$ 节点。

考虑删除过程。下图是样例的节点连接情况。作图来自 graph_editor。

因为最终要删去除了节点 $1$ 以外所有的节点，所以我们遍历它的儿子。

观察到，如果删去 $8$ 节点的子树是经济的，所以第一次删去 $8$ 节点的子树，代价为 $va{l}_6=45104$。现在的树如下图。

第二次删去剩余的 $1$ 的子树，代价为 $va{l}_3=18640$。所以答案为 $63744$。

给出状态转移方程，其中 $son$ 表示 $i$ 节点的儿子，$num$ 表示子树大小： f i , j = min ⁡ k ∈ [ max ⁡ ( 1 , j − n u m i ) , min ⁡ ( j , n u m s o n − 1 ) ] { f i , j − k + f s o n , k } f_{i,j}=\min \limits _{k \in [\max(1,j-num_i),\min(j,num_{son}-1)]} \{ f_{i,j-k}+f_{son,k} \} fi,j​=k∈[max(1,j−numi​),min(j,numson​−1)]min​{fi,j−k​+fson,k​}。

对于每个节点，在动态规划后还要进行一次答案更新： f i , n u m i − 1 = min ⁡ j ∈ [ 0 , n u m i − 1 ) { f i , j + v a l n u m i − j } f_{i,num_i-1}=\min \limits _{j \in [0,num_i-1)} \{ f_{i,j}+val_{num_i-j} \} fi,numi​−1​=j∈[0,numi​−1)min​{fi,j​+valnumi​−j​}。

最后注意一下，因为我们不知道树的方向，所以我们双向连边。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define Getchar() p1==p2 and (p2=(p1=Inf)+fread(Inf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++
char Inf[1<<21],*p1,*p2;
inline void read(int &x,char c=Getchar())
{
	bool f=c!='-';
	x=0;
	while(c<48 or c>57) c=Getchar(),f&=c!='-';
	while(c>=48 and c<=57) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=Getchar();
	x=f?x:-x;
}
int n,val[5010],f[5010][5010],num[5010];
vector<int> v[5010];
inline void solve(int pos,int fa,int cnt=0)//双向连边，fa防止向上搜索
{
	for(int i=0;i<v[pos].size();i++)
	{
		if(v[pos][i]!=fa)
		{
			solve(v[pos][i],pos),cnt+=num[v[pos][i]];
			for(int j=cnt-1;j>=1;j--)
				for(int k=max((long long)1,j-num[pos]);k<=min(j,num[v[pos][i]]-1);k++)//j不能为负数，否则越界
					f[pos][j]=min(f[pos][j],f[pos][j-k]+f[v[pos][i]][k]);
			num[pos]+=num[v[pos][i]];
		}
	}
	for(int i=0;i<num[pos]-1;i++) f[pos][num[pos]-1]=min(f[pos][num[pos]-1],f[pos][i]+val[num[pos]-i]);
}
signed main()
{
	read(n),memset(f,0x3f,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=0,num[i]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) read(val[i]);
	for(int i=1,x,y;i<n;i++) read(x),read(y),v[x].push_back(y),v[y].push_back(x);
	solve(1,0),cout<<f[1][num[1]-1];//这里无所谓，因为节点 1 的子树中有 num[1]=n 个节点
	return 0;
}