[ABC008C] コイン 题解

[ABC008C] コイン

一道有趣的期望题。

解法

题中给出 $n$ 枚硬币，每枚硬币上都有一个正整数，记作 $a_i$。下面为了方便叙述，我们将 $n$ 个硬币进行标号，依次为 $1$ 到 $n$。

现在要将这 $n$ 枚硬币进行全排列，共有 $n!$ 种排列方法，求出全部翻转后最终正面朝上（初始状态是全部正面朝上）的硬币数量的期望值（输出浮点数）。翻转规则如下：

• 从最左端开始向右逐个扫过。

• 当扫到第 $i$ 个硬币时，我们将第 $i$ 个硬币右侧且硬币上的数字是 $a_i$ 倍数的硬币进行一次翻转。

注意：本题要注意整数和浮点数间的转换。

部分分解法

对于 $1\le n\le 8$ 的情况，我们可以全排列出所有情况，对于每一种情况暴力翻转，求出每种情况硬币正面朝上的数量，从而算出所有情况硬币正面朝上的数量的总和，除以 $n!$ 浮点数输出期望即可。

满分解法

考虑到有一个点的数据范围是 $1\le n\le 100$，这种暴力的做法是不能得到满分的。考虑到我们正在对每种排列情况进行计数，我们可以换一个计数方式，即考虑每个硬币在所有情况中正面朝上的概率的总和。

观察样例我们可以得到：对于编号为 $i$ 的硬币，能使之翻转的硬币只能是 $a_i$ 的约数所在的硬币。所以如果对于 $a_j\nmid a_i$，在任意排列中无论编号为 $j$ 的硬币在编号为 $i$ 的硬币的任何方向，都不会影响编号为 $i$ 的硬币的翻转情况。所以我们在计数编号为 $i$ 的硬币时可以忽略这些不是该硬币约数的硬币。现在即求对于编号为 $i$ 的硬币和它的 $x_i$ 个约数，在这 $x_i+1$ 个数的全排列中有多少种情况编号为 $i$ 的硬币在这列数中排在第奇数位（即该数前面有偶数个约数）的概率。对于编号为 $i$ 的硬币，计算公式为：$\dfrac{ x_i! \times \lfloor x_i / 2 + 1 \rfloor }{ (x_i + 1)! } = \dfrac{ \lfloor x_i / 2 + 1 \rfloor }{ x_i + 1 } $，解释如图：

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[110];
double ans;
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	for(int i=1,cnt=0;i<=n;i++,cnt=0)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++) if(a[i]%a[j]==0) cnt++;
		cnt--;//把自己排除
		ans+=(cnt/2+1)*1.0/(cnt+1);
	}
	cout<<fixed<<setprecision(6)<<ans<<endl;//注意，因为这道题是早期 AT 的题，最后一定要多输出一个空格
	return 0;
}