Project Euler15 给定一个20*20的方格，从左上角到右下角的路径有多少条？（只允许向右和向下走)

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于 2011-09-26 00:52:11 发布 · 3.9k 阅读

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#recursion #算法 #c

本文探讨了Project Euler第15题的解决方案，即如何计算一个20*20的网格中从左上角到右下角的路径数量。通过递推法，提出了两种算法：一是基于递推公式f(n,n)=f(n-1,n)+f(n,n-1)；二是利用排列组合原理，得出f(n,n)=c(n,n+n)。并给出了使用递推法的C语言实现代码，欢迎交流优化建议。" 132285377,19671681,Java实现列置换密码加密解密算法详解,"['java', '算法', '信息安全']

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首先我们来讨论一下2*2方格的情况：

从结点1到结点9的走法：

1-2-3-6-9

1-2-5-6-9

1-2-5-8-9

1-4-7-8-9

1-4-5-6-9

1-4-5-8-9

共有6种不同的走法，仔细的读者会发现，在结点3，6，7，8到结点9的通道只有一种，是的，这将会是以后解决问题的关键之一。

现在我们将方格数推广到n，定义f（n,n）为结点（0，0）到结点（n，n）的通道数。

算法如下：

方法一：递推法

递推公式为f(n,n)=f(n-1,n)+f(n,n-1)；
初始化条件:当0 <= i <= n,f(n,i)=1,f(i,n)=1。（初始条件的寻找，还得看读者的观察能力了）

方法二：排列组合

f(n,n)=c(n,n+n)，其中c(n,n+n)表示n+n中取n

现在我只研究方法一，实现的代码如下：

#include <iostream>
#include <TIME.H>
using namespace std;
#define MAX_X 21
#define MAX_Y 21
/*递归*/
_int64 Recursion()
{
	_int64 a[MAX_X][MAX_Y] ;
	for(int i=0;i<=MAX_X-1;i++)
	{
		a[MAX_X-1][i]=1;
		a[i][MAX_Y-1]=1;
	}
	for (int j=MAX_X-2;j>=0;--j)
		for(int i1=MAX_Y-2;i1>=0;i1--)
			a[j][i1]=a[j+1][i1]+a[j][i1+1]