基本图算法之图的表示——习题思路(1)

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• 22.1-1给定一个有向图的邻接表表示，计算该图中每个顶点的出度需要多少时间？计算每个顶点的入度需要多少时间？

  入度：进入该顶点的边的数目。出度：从该顶点出去的边的数目。
  计算出度和入度的时间都为O(v+e)，计算出度和入度的过程相当于将邻接链表的顶点和边遍历一遍。

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• 22.1-3有向图G=(V,E)的转置是图$G^T$=(V,$E^T$)，其中$E^T$={(v,u) $\in$ V$\times$V:{u,v}$\in$E},因此$G^T$就是将G中所有边反向后形成图。写出根据G计算出$G^T$的有效算法(针对邻接表和邻接矩阵两种表示形式分别写出)，并分析所给出算法的运行时间。

  邻接链表：对于G的每个节点i,遍历其adj，将i添加到adj中遇到的每个节点的$G^T$的adj中。这样就可以求出G的转置。时间就是遍历邻接链表的时间O(v+e)
  邻接矩阵：就是求G的转置矩阵。时间为O($V^2$)

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• 22.1-4 给定一个多重图G=（V,E）的邻接表表示，给出一个具有O（V+E）时间的算法，来计算其“等价”的无向图G’=(V,E’)的邻接表表示，其中E’包含E中所有的边，且将两个顶点之间的所有多重边用一条边代表，并去掉E中所有的环。

  遍历邻接链表，对于G中每个节点i，将其adj中未出现过的邻居，且不是i自己的节点加入G’中i的adj中。该算法时间为O（V+E）

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• 22.1-5有向图G=（V,E）的平方是图$G^2$=(V,$E^2$)，该图满足下列条件：（u,w）$\in$$E^2$ 当且仅当对v$\in$V，有（u，v）$\in$E，且（v，w）$\in$E。亦即，如果图G中顶点u,w之间存在着一条恰好包含两条边的路径时，则$G^2$ 必包含边（u，w）。针对图G的邻接表和邻接矩阵两种表示法，分别写出根据G产生$G^2$ 的有效算法，并分析所给算法的运行时间。

示意性伪码
邻接链表：

G2.V=G.V
for each u in G.V
     for each v in G.Adj[u]
        for each w in G.Adj[v]
            G2.E=G2.E+{(u,w)}

邻接矩阵：

for i =1 to |V|
   for j= 1 to |V|
      G2[i][j]=0
      for k=1 to |V|
          if G[i][k]==1&&G[k][j]==1
              G2[i][j]=1
              break

显然，两种时间复杂度都为O（$V^3$）