算法竞赛——02基本算法

2.1-算法复杂度

  计算的资源是有限的，竞赛题会限制代码所使用的计算资源。计算资源有两种：计算时间和存储空间。与此对应的有时间复杂度和空间复杂度，时间复杂度衡量计算的次数，空间复杂度衡量需要的存储空间。
  算法竞赛的题目，都会对代码的运行时间和空间做出要求。一般情况下，C++代码的运行时间是1秒，即代码必须在1秒内计算结果并输出结果；空间一般不超过100MB。如果是Java和Python代码，运行时间应该是C++代码的3～5倍。

  需要说明的是，时间复杂度不完全等于运行时间。由于代码的运行时间依赖于计算机的性能，同样的代码在不同的机器上运行，需要的时间不同。所以，直接把运行时间作为判断标准并不准确。用代码执行的次数衡量更加合理，如一个for循环了n次，把它的时间复杂度记为$O(n)$。

2.1.1-算法的概念

  一般认为：“程序 = 算法 + 数据结构”。算法是解决问题的逻辑、方法、步骤，数据结构是数据在计算机中的存储和访问的方式。算法和数据结构是紧密结合的，而且有些数据结构有特定的处理方法，此时很难把数据结构和算法区分开来。

  算法（Algorithm）是对特定问题求解步骤的一种描述，是指令的有限序列。算法有以下5个特征。
  $(1)$输入：一个算法有零个或多个输入。算法可以没有输入，如一个定时闹钟程序，它不需要输入，但是通过每隔一段时间就输出一个报警。
  $(2)$输出：一个算法有一个或多个输出。程序可以没有输入，但是一定要有输出。
  $(3)$有穷性：一个算法必须在执行有穷步之后结束，且每步都在有穷时间内完成。
  $(4)$确定性：算法中的每条指令必须有确切的含义，对于相同的输入只能得到相同的输出。
  $(5)$可行性：算法描述的操作必须通过已经实现的基本操作执行有限次来实现。
  以冒泡排序算法为例，它满足上述5个特征，具体如下。
  $(1)$输入：由n个数构成的序列 { a 1 , a 2 , a 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n } \{a_1, a_2, a_3, ···, a_n\} { a1​,a2​,a3​,⋅⋅⋅,an​}。
  $(2)$输出：对输入的排序结果 { a 1 ′ , a 2 ′ , a 3 ′ , ⋅ ⋅ ⋅ , a n ′ } , a 1 ′ ≤ a 2 ′ ≤ a 3 ′ ≤ , ⋅ ⋅ ⋅ , ≤ a n ′ \{a_1^{'}, a_2^{'}, a_3^{'}, ···, a_n^{'}\}, a_1^{'} \le a_2^{'} \le a_3^{'} \le, ···, \le a_n^{'} { a1′​,a2′​,a3′​,⋅⋅⋅,an′​},a1′​≤a2′​≤a3′​≤,⋅⋅⋅,≤an′​。
  $(3)$有穷性：算法在执行$O(n^2)$次后结束，这也是对算法性能的评估，即算法复杂度。
  $(4)$确定性：算法的每个步骤都是确定的。
  $(5)$可行性：算法的步骤能编程实现。

2.1.2-复杂度和大O记号

  衡量算法性能的主要对象是时间复杂度，一般不讨论空间复杂度。因为一个算法的空间复杂度是容易分析的，而时间复杂度往往关系到算法的根本逻辑，不容易分析，更能说明一个程序的优劣。
  衡量算法运行时间最常见的一种方法是大O记号，它表示一个算法或函数的渐近上界。对于一个函数$g(n)$，用$O(g(n))$表示一个函数集合，读作"$g(n)$的大O"。
   O ( g ( n ) ) = { f ( n ) : O(g(n)) = \{f(n): O(g(n))={ f(n):存在正常数c和$n_0$，使对所有的$n\ge n_0$，有$0\le f(n)\le cg(n)\}$。
  用大O做算法分析，得到的复杂度只是一个上界估计。例如，在一个有n个数的无序数列中，查找某个数x，了能第1个数就是x，也可能最后一个数才是x，平均查找次数为