史上最详尽平衡树（splay树）讲解

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转载最新推荐文章于 2026-06-17 14:10:31 发布 2.7k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

平衡树【Splay树】学习小记 平衡树，顾名思义，平衡的搜索二叉树。常见的平衡树都能将树的深度保持在lg⁡n\lg_nlgn的级别内，防止退化成链。一些平衡树可以通过旋转、分裂、合并等操作完成更加高级的、二叉搜索树做不到的操作。阅读详情

首先声明：万分感谢gty大哥的帮助！这年头能找到简单易懂的~~数组版~~平衡树模板只能靠学长了！

变量声明：f[i]表示i的父结点，ch[i][0]表示i的左儿子，ch[i][1]表示i的右儿子，key[i]表示i的关键字（即结点i代表的那个数字），cnt[i]表示i结点的关键字出现的次数（相当于权值），size[i]表示包括i的这个子树的大小；sz为整棵树的大小，root为整棵树的根。

再介绍几个基本操作：

【clear操作】：将当前点的各项值都清0（用于删除之后）

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inline void clear(int x){
ch[x][0]=ch[x][1]=f[x]=cnt[x]=key[x]=size[x]=0;
}

【get操作】：判断当前点是它父结点的左儿子还是右儿子

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inline int get(int x){
return ch[f[x]][1]==x;
}

【update操作】：更新当前点的size值（用于发生修改之后）

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inline void update(int x){
if (x){
size[x]=cnt[x];
if (ch[x][0]) size[x]+=size[ch[x][0]];
if (ch[x][1]) size[x]+=size[ch[x][1]];
}
}

下面boss来了：

【rotate操作图文详解】

这是原来的树，假设我们现在要将D结点rotate到它的父亲的位置。

step 1：

找出D的父亲结点（B）以及父亲的父亲（A）并记录。判断D是B的左结点还是右结点。

step 2：

我们知道要将Drotate到B的位置，二叉树的大小关系不变的话，B就要成为D的右结点了没错吧？

咦？可是D已经有右结点了，这样不就冲突了吗？怎么解决这个冲突呢？

我们知道，D原来是B的左结点，那么rotate过后B就一定没有左结点了对吧，那么正好，我们把G接到B的左结点去，并且这样大小关系依然是不变的，就完美的解决了这个冲突。

这样我们就完成了一次rotate，如果是右儿子的话同理。step 2的具体操作：

我们已经判断了D是B的左儿子还是右儿子，设这个关系为K；将D与K关系相反的儿子的父亲记为B与K关系相同的儿子（这里即为D的右儿子的父亲记为B的左儿子）；将D与K关系相反的儿子的父亲即为B（这里即为把G的父亲记为B）；将B的父亲即为D；将D与K关系相反的儿子记为B（这里即为把D的右儿子记为B）；将D的父亲记为A。

最后要判断，如果A存在（即rotate到的位置不是根的话），要把A的儿子即为D。

显而易见，rotate之后所有牵涉到变化的父子关系都要改变。以上的树需要改变四对父子关系，BG DG BD AB，需要三个操作（BG BD AB）。

step 3：update一下当前点和各个父结点的各个值

【代码】

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inline void rotate(int x){
int old=f[x],oldf=f[old],which=get(x);
ch[old][which]=ch[x][which^1];f[ch[old][which]]=old;
f[old]=x;ch[x][which^1]=old;
f[x]=oldf;
if (oldf)
ch[oldf][ch[oldf][1]==old]=x;
update(old);update(x);
}

【splay操作】

其实splay只是rotate的发展。伸展操作只是在不停的rotate，一直到达到目标状态。如果有一个确定的目标状态，也可以传两个参。此代码直接splay到根。

splay的过程中需要分类讨论，如果是三点一线的话（x，x的父亲，x的祖父）需要先rotate x的父亲，否则需要先rotate x本身（否则会形成单旋使平衡树失衡）

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inline void splay(int x){
for (int fa;(fa=f[x]);rotate(x))
if (f[fa])
rotate((get(x)==get(fa)?fa:x));
root=x;
}

【insert操作】

其实插入操作是比较简单的，和普通的二叉查找树基本一样。

step 1：如果root=0，即树为空的话，做一些特殊的处理，直接返回即可。

step 2：按照二叉查找树的方法一直向下找，其中：

如果遇到一个结点的关键字等于当前要插入的点的话，我们就等于把这个结点加了一个权值。因为在二叉搜索树中是不可能出现两个相同的点的。并且要将当前点和它父亲结点的各项值更新一下。做一下splay。

如果已经到了最底下了，那么就可以直接插入。整个树的大小要+1，新结点的左儿子右儿子（虽然是空）父亲还有各项值要一一对应。并且最后要做一下他父亲的update（做他自己的没有必要）。做一下splay。

[cpp] view plain copy

inline void insert(int v){
if (root==0) {sz++;ch[sz][0]=ch[sz][1]=f[sz]=0;key[sz]=v;cnt[sz]=1;size[sz]=1;root=sz;return;}
int now=root,fa=0;
while (1){
if (key[now]==v){
cnt[now]++;update(now);update(fa);splay(now);break;
}
fa=now;
now=ch[now][key[now]<v];
if (now==0){
sz++;
ch[sz][0]=ch[sz][1]=0;key[sz]=v;size[sz]=1;
cnt[sz]=1;f[sz]=fa;ch[fa][key[fa]<v]=sz;
update(fa);
splay(sz);
break;
}
}
}