平衡树【Splay树】学习小记

简介

平衡树，顾名思义，平衡的搜索二叉树。

常见的平衡树都能将树的深度保持在 ${\lg }_n$ 的级别内，防止退化成链。

一些平衡树可以通过旋转、分裂、合并等操作完成更加高级的、二叉搜索树做不到的操作。

二叉搜索树

在讲平衡树之前，先介绍这种二叉树。

1、性质&特点

首先，规定：对于节点 $x$ ， $x$ 左子树内任一点权值< $x$ 权值< $x$ 右子树内任一点权值。

这一条性质也被称为 $\text{bst}(binarysearchtree)$ 性质。

由此性质可以容易地发现对于一棵二叉搜索树，如果没有插入或删除，节点的中序遍历是固定的。

当然，是在没有重复元素的前提下。至于重复元素在下面。

2、支持操作

先规定以下变量、数组：

• tot,rt：节点数量以及根的编号。

• v[i]：节点 $i$ 的权值。

• fa[i]：节点 $i$ 的父亲编号。

• chi[i][2]：节点 $i$ 的左/右儿子。

• cnt[i]：节点 $i$ 的权值存在数量（如数列1 1 2 3，如果v[3]=1，那么cnt[3]=2）。

• sz[i]：节点 $i$ 的子树中权值数量。形式化地写，sz[i]=sz[chi[i][0]]+sz[chi[i][1]]+cnt[i]。

特别地，空节点编号为0。

插入一个元素：根据 $\text{bst}$ 性质，从根开始，向左右两侧跳。直到空位或者已有该元素大小的节点。

查询元素 $x$ 的前驱：先根据 $\text{bst}$ 性质，找到元素 $x$ 所在的节点。如果 $x$ 有左子树，那么前驱是它左子树内最靠右的节点；如果 $x$ 没有左子树但有父亲，那前驱就是它的深度最深的、 $x$ 位于右子树内的祖先。

查询元素 $x$ 的后继：类似前驱。

查询元素 $x$ 的排名：

• 如果 $x$ 小于当前权值，向左子树。
• 答案加上左子树大小，如果 $x$ 等于当前权值，将答案加1并返回；否则加上当前点的 $\text{cnt}$ 并向右子树。

查询排名为 $k$ 的数值：

• 如果 $k$ 小于左子树大小，向左子树。
• 将 $k$ 减去左子树大小。如果 $k\le 0$ ，返回当前权值；否则向右子树。

3、死因

不难发现，如果我一直插入 $1,2,\mathrm{3......}n$ ，这棵树会因此而退化成一条链。

如果离线处理，可以考虑将插入的数排序后再递归建树：

Function : d g ( l , r )                 &