电路理论基础笔记

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于 2025-08-14 13:57:54 首次发布

绪论

1.发展简史

1930从电磁学分支
1960前的电路理论称为经典电路理论(电路理论基础的主要内容)
1960后：现代电路理论（在经典电路理论之上进行研究）

2.主要内容

电路理论两大分支：

电路分析(网络分析)：已知电路结构参数，分析现有的电路(电路理论基础的主要内容)
电路综合(网络综合)：给出输入和输出，要求构建中间部分结构

1980后增添了模拟电路故障诊断：当前电路不正常工作，找出故障元器件或其范围

电路类型主要分为两种：

电阻电路(基本)
动态电路：暂态响应、稳态响应

大致内容：

一个假定：集中化假定(忽略空间效应)
两类约束：电路的整体约束和局部约束
三大分析方法：等效与替代、列方程、线性叠加

3.习题

第一章电路模型及其基本规律

电路功能主要分为两类：

能量处理
信号处理

一、电路模型

实际电路：由电器件构成的整体(通常较为复杂，难以分析)

电路模型：由基本构造单元（电路元件）构成的整体(抓住主要问题，忽略次要问题)(质点、刚体即为模型)(简称电路)

模型只能逼近实物特性，不可能与实物特性重合！

最佳模型：能够解决问题的最简单模型

研究方向不同，模型也会有差距

本课程主要研究的是电路模型

电路模型两大类：

集中参数电路：集中化假设：L<< $\lambda$ ，此时忽略了空间的影响，涉及的电量只与时间有关：
分布参数电路： $\lambda$ = c/f

二、电路的基本表征量

1.基本变量：

电压u(伏V)、电流i(安A)、电荷q(库C)、磁链 $\phi$ (韦伯Wb)

1kV = 1000V

1MA = 10^6A

1 $\mu$ A = 10^-6A

dt时间通过的电荷量是dq，i=dq/dt，电流是电荷对时间的求导，电荷是电流的积分

u = d $\psi$ /dt电压是磁链对时间的求导

电压是把单位正电荷从一点移动到另一点所作的功 u = dw/dq(距离)

直流量：大小和方向都不随时间改变的量(强调直流量用大写的符号表示U、I、P)

时变量：大小和方向二者之间至少有一个随时间发生变化

交变量：大小和方向随时间周期性变化且平均值为零

参考方向(一旦假定在求解过程中就不能改变！)：给定电路只存在一种电流方向，在事先不知道方向的前提下假定一个电流方向，此时计算出的结果有两种情况：

i(t)>0，代表实际电流方向就是假定方向
i(t)<0，代表实际电流方向与假定方向相反

电压未知时，假定结果与上述相似

在同时假定电压和电流方向时，只会出现两种情况

低电位流入，高电位流出：非关联参考方向
高电位流入，低电位流出：关联参考方向(主要元器件的特征方程一般为关联参考方向)

参考方向表示方式：箭头，双下标

电压 $u_{ba}$ = $u_b$ - $u_a$ (高电位减低电位)

2.基本复合量

由基本变量复合的变量

功率p(瓦W)：一段电路单位时间内产生或吸收的能量、能量w(焦J)

p = dw/dt = dw/dq*dq/dt(分子分母同乘dq) = u*i(要看参考方向！)

把正电荷从高电位移动到低电位时，电场力做功，电路吸收能量，即参照关联方向时，若计算的功率大于0，实际功率为吸收的功率

	p = ui	p=-ui
关联参考方向	吸收	发出
非关联参考方向	发出	吸收

功率守恒：提供的功率求和等于发出的功率

全局约束(拓扑约束)

三、基尔霍夫定律

1.常用的电路术语

支路：一个二端元件或串并联组合
节点：支路之间的的连接点(注意连接线对节点的影响，支路选择不相同影响网孔数)
支路电压
支路电流
回路：闭合路径
网孔：内部不含支路的回路
外围网孔

2.基尔霍夫电流定律(KCL)(第一定律)

KCL是电荷守恒的体现

在任一集中参数电路中，对于任一节点，所有支路电流的代数和为0

$\Sigma i_k = 0$ (KCL方程)

要写出如上方程，需要先假定各个支路的电流方向，在假定的电流方向下，对于一个节点存在有流入该节点和流出该节点的电流，流入节点取正，流出节点取负(也可以入负出正)

列KCL方程时只列出最大线性无关组

结论：n个节点的电路，有且仅有n-1个独立的KCL方程(只是充分条件！)

闭合面仍然存在代数和的问题，与单个节点等效

对KCL方程积分得到电荷和仍然为0，表示该节点既不会产生电荷也不会储存电荷

3.基尔霍夫电压定律(KVL)(第二定律)

KVL是能量守恒的体现

对于任一集中参数电路，在任一时刻回路中所有支路电压电压的代数和为0

$\Sigma u_k = 0$ (KVL方程)

首先要假定支路电压的参考方向，在该回路中电压降(设为负)和电压升(设为正)代数和为0，同时规定一个顺时针方向或者逆时针方向来判断电压降还是电压升

KVL方程需要列出最大线性无关组

网孔是一组独立回路(网孔只适用于平面电路，即除了节点无交叉点的电路！)

独立回路：能够提供独立KVL方程的回路叫做独立回路

选择方法(充分条件)：选择的新的回路包含前面已选择的回路不含有的新支路

结论：对于n个节点，b条支路的电路，有且仅有(b-(n-1))个独立的KVL方程

备注：

KVL和KCL只适用于集中参数电路
基尔霍夫定律与支路的性质没有关系(即与支路元件没有关系)，只与支路的连接关系有关
KCL给支路电流施加的是线性约束
KVL给支路电压施加的是线性约束

四、电阻元件

u、i、q、 $\psi$ 存在两个动态关系

u和i通过电阻实现代数关系 $w(t) =$

u和q通过电容实现代数关系

i和 $\psi$ 通过电感实现代数关系

q和 $\psi$ 之间通过记忆电阻(忆阻)

记忆电阻在线性的情况下就是电阻，在非线性条件下才需要记忆电阻(在基础理论课不讲述)

元件的分类

无源：它在任意时刻吸收的能量都大于等于0，w(t) = $\int_{-\infty}^{t}p(t)dt$ = $\int_{-\infty}^{t}u(t)*i(t)dt$ = $w(t_0)+\int_{t_0}^{t}u(t)*i(t)dt$ >=0则该元件为无源的(即无法主动向外界放出能量)

针对电阻元件：p(t) = u(t)*i(t)>=0

只要能够找到一组电压电流使得上述小于0，即说明该元件是有源的

电阻元件

凡是能够用u和i之间的代数关系表征的元件

$f_R(u,i,t)$ = 0

线性电阻(符号为小矩形，其阻值通过关联参考方向的到)：电压和电流成正比，在图像上表示为过原点的一条直线(电阻的伏安特性曲线)

如果一个电阻的特性曲线随时间变化，即为时变电阻u = R(t)*i

如果一个电阻的特性曲线不随时间变化，即为时不变电阻(伏安关系VAR/VCR)u = R*i

使用时不变电阻的特性方程是需要注意两个部分：

线性电阻
关联参考方向

非关联参考方向下u = -R*i，电阻欧姆 $\Omega$

功率： $p$ = $ui$ = $R*i^2$ = $u^2/R$ = $G*u^2$

i = u/R = Gu(G为电导，数值为电阻的倒数，西 $\xi$ )

正值电阻(R>0)：p>=0，即无源的

负值电阻(R<0)：p<0，即有源的

一般说的电阻为线性正值电阻

特殊的电阻

开路：G = 0，i恒等于0

短路：R = 0，u恒等于0(短路线通常出现在低频电路中，高频电路很难出现短路线、开路线)

五、独立电源

1.电压源

符号：中间为封闭圆圈的线段，并且标上+-(参考方向)，注为 $u_s$ (如果是直流电压源，其符号与中学电池符号相同)

电压源两端电压 $u_ab = u_s$

电压源本身对电流无要求(0, $+\infty$ )，电流方向也没规定(这就使得独立电压源在电路中可以是吸收能量的也可以是发出能量的(寻找电流方向与参考电压方向之间关联，如果是关联参考方向，即吸收能量))

利用基尔霍夫定律进行计算！

在电压源的计算过程中，如果算出的是提供的功率需要标出！吸收功率不需要额外标出，可以全部利用计算出负的吸收功率从而得出电源向外提供能量

2.电流源

符号：封闭线段中间为一个空心圆圈内部有一水平线，注为 $i_s$

电流源两端电流 $i_ab = i_s$

电流源的电压取值任意(0, $+\infty$ )

电源置零：

电压源两端电压为零，相当于短路
电流源两端电流为零，相当于开路

除了电源置零的情况，独立电源是非线性元件：是直线但不过原点

电源可以是时变的！

独立电源可以看成是电阻，都是二端元件

六、受控源

受控源不再是二端元件！最基本的受控源为二端元件

受控源有两条支路(控制支路可以不画出)：

控制支路
受控支路

4种基本的受控源

电压控制电压源(VCVS)：受控支路是受控电压源，受控源用菱形而非圆圈！其输出 $u_2$ 取决于控制支路的电压 $u_1$ ，即 $\alpha*u_1$ (正比关系)，控制支路用开路线表示，受控电源两端电压为 $\alpha*u_1$ 控制支路： $i_1 = 0$ ， $u_2 = \alpha*u_1$ (该方程不固定)可以将受控支路看为一个回路再使用KVL分析
电流控制电压源(CCVS)：受控支路与VCVS相同，受控电源电压与控制支路电流成正比，即 $u_2 = r*i_1$ ，控制支路用短路线表示，方程： $u_1 = 0$ ， $u_2 = r*i_1$ (该方程不固定)同理使用KVL分析
电流控制的电流源(CCCS)：符号同理，圆圈变为菱形即可， $i_2 = \beta*i_1$ ，控制支路用短路线表示，整体特性方程： $u_1 = 0$ ， $i_2 = \beta*i_1$
电压控制的电流源(VCCS)：控制支路为开路线， $i_2 = g*u_1$ ，特性方程： $i_1 = 0$ ， $i_2 = g*u_1$

受控源的功率应当由两个支路的功率相加：

$p = u_1*i_1+u_2*i_2 = u_2*i_2$ ，计算受控源的功率只要求出受控源所在支路的功率即可

一个电路必须有独立源才能有电流！只有受控源则没有电流！

独立电源是个有源元件(能够向外提供能量)

受控源是一种有源元件

一般来说，单回路电路可以先求出电流，建立电流方程！

七、用两类约束直接分析电路

基尔霍夫定律(拓扑约束)+元件的特性方程(元件约束)=两类约束

电阻电路：全部由电阻元件组成的电路

线性电路：从除了独立源外仅有线性元件组成的电路

1.2b分析法(n个节点，b个支路)

(n-1)个独立KCL个方程
(b-n+1)个独立KVL方程
b个小元件方程(支路方程)

以上总共2b个方程，可以解出一共2b个电力电压未知数

2.电压和电流的表示

电压：（a）元件的特性方程(电流源此方法无效)（b）KVL
电流：（a）元件的特性方程(电压源此方法无效)（b）KCL

减少电路方程的途径：

电路方程数目——变量数——支路数——电路的性质

第二章等效变换分析

一、单回路电路与双节点电路

1.分压公式与分流公式

关联参考方向的分压公式 $u_1 = R_1/(R_1+R_2)*u$

关联参考方向的分流公式 $i_1 = R_2/(R_1+R_2)*i = G_1/(G_1+G_2)*i$

电桥平衡：桥上的电流 $i_0 = 0$ ，平衡条件：桥的两侧两个电阻相比数值相同(由于桥上电流为0，根据欧姆定律电压为0，则桥得两端节点是等电位的，对桥的上下部分分别构造回路再利用KVL与分压公式即可证明)

电流为零的支路可以断开
等电位点可以短接(常用于分析对称电路)

2.单回路电路的分析

只有一个回路的电路简称单回路电路，单回路电路先求出回路电流！！

先把受控源当作独立源看待，列出方程后再将受控源的控制量用回路中的电流进行表示

回路型电路使用KVL，节点型电路使用KCL

对电阻元件使用欧姆定律时，得到的电压和电流是关联参考方向！

回路电阻为回路中所有电阻之和

特征方程

按照取电压降为正：所有电阻之和*回路电流 = 沿着电流回路方向所有电压源电压升的代数和(方程右边与假设相反，电压降为负)

3.双节点电路

只有两个节点的电路就是双节点电路

双节点电路先求出节点电压u！

对于并联电路利用KCL，如果有控制源此时用电压表示

特征方程

假设电流流出为正：与电压类似，所有电导之和*节点电压 = 节点的电流源注入节点电流代数和(方向指向节点的电流取正)

二、等效二端网络

1.二端网络

只有两个端子与外部电路相连的网络

一般符号：左侧一个名为N的矩形向右引出两个端子

端口：一对端子满足流入一个端子的电流恒 = 流出另一个端子的电流的条件

显然二端网络的两个端子构成端口

二端网络也叫单口网络，利用端口电流和电压描述其特性(端口伏安关系VAR)

数学等效：合并同类项，方程变形

2.等效二端网络

等效网络：两个端口特性方程(VAR)完全相同的网络(两个网络的参考方向要相同)

等效一定是对外的

3.常用的等效二端网络

两个电阻串联( $R_1$ ， $R_2$ )等效为一个大电阻(R)：等效条件： $R = R_1 + R_2$
两个电阻并联( $R_1$ ， $R_2$ )等效为一个大电阻(R)：等效条件： $G = G_1+G_2$
两个电压源串联等效为一个电压源(需要根据KVL书写表达式)
两个电流源并联等效为一个电流源(需要根据KCL数学表达式)

所做的模型必须满足两类约束才合理！

不起作用的元件称为多余元件(虚元件)

一个电压源和一个元件并联，等价于一个电压源，对于该元件所在支路可以按照开路处理
一个电流源和一个元件串联，等价于一个电路源，对于该元件可以按照短路处理

实际电源模型的等效互换：电压源串一个电阻在一定条件下等价于一个电流源并一个电阻( $u_s = R*i_s$ )(电流源箭头的地方对应电压源正极的地方)

运用以上方法可以讲只含有串并联的电路转化为一条支路，等效变换适用于求某一条支路的功率：

首先对电路进行分解，分出来所需要求的量所在的支路，分为二端网络的外端网络，此部分保留不动
从二端网络的端口最远侧开始进行化简，电压源串电阻、电流源并电阻是一条支路(整体化)，使用电源等效互换模型，当两条支路并联时降以上两个支路转化为电流源并电阻，同理两个整体串联转化为电压源串电阻(注意，符号、方向问题先取定一个，紧接着和该方向相同的为正值，相反的为负值，求出代数和即可)
紧接着合并同类型元件
最后加入外端网络化为单回路电路直接进行计算(分压、分流公式)

不足：每一次化简时画的电路较多

等效是两个网络的固有特性，和外部电路没关系

等效是针对外部电路而言的，即求外部电路的数据是相同的，对内部不等效

若等效变化中含有受控源，可以想将受控源当作独立源进行处理，即受控电压源串一个电阻等效于受控电流源并一个电阻，对应变换方式与独立源的变换相同

受控源存在两条支路！若存在受控源支路存在，控制支路必须存在，不能消掉！(但是当控制支路比受控支路距离端口近的时候，可以任意进行变换)

既有受控源又含有独立源的情况：

电阻串电压源再串受控电压源等效于电流源并受控电流源并电阻，其电流源方向输出端为电压正极

$u_s = R*i_s$ ； $u_x = R*i_x$

单个电流源、电压源也可以看作是支路！

最简等效电路不含有受控源！

可以使用端口VAR，并联型使用KCL，得到端口VAR后画出对应的电路

如果是u = x*i + b，那么对应的图像为电压源串一个电阻
如果是i = x*u + b，那么对应的图像为电流源并一个电阻

四、输入电阻

一个内部不含独立电源的二端网络(允许有受控源)存在输入电阻(关联参考方向)

输入电阻即为端口的电压比电流 $R_{in} = u/i$
输入电导即为端口的电流比电压 $G_{in} = i/u$
即 $R_{in} = 1/G_{in}$

二端网络的等效电阻与输入电阻数值相同，实际有些不同：

使用等效电阻时意为使用等效电阻代替这一块
输入电阻仅仅是数字上的电压比电流

含有受控源时利用KVL将受控源利用VAR化为具体的电阻，需要特别注意控制支路不能消失！

控制支路转移：

1.把端口电压电流使用受控源的控制量表示！(对于单一的受控源有效)

开路线是特殊的电流源，表示电流用KCL，表示电压用KVL！

含有受控源的电路他的输入电阻可能是负的！(受控源的有源性)

2.控制支路转移

为了防止控制支路被消掉，将控制量用其他量表示，进而可以消掉原控制支路

五、Y- $\Delta$ 变换

Y连接(星形)(T型网络)
三角形连接( $\pi$ 型网络)

三端网络的描述：

使用闭合面的KCL求出电流

描述三端元件使用两个电流、两个电压

两个三端网络等效各个端口性质应当完全相同

如果电路对称：

$R_1 = R_2 = R_3 = R_Y$

$R_{12} = R_{23} = R_{31} = R_\Delta$

等效条件： $R_\Delta = 3*R_Y$

第三章电路方程

等效变换的方法只能算出一条支路的数据

一、电路变量的选择

变量确定后可以通过KCL(KVL)求出所有的支路电流(电压)(不解方程)
可以利用元件VAR求出支路电压(支路电流)(如果不包含多端元件则不解方程)

2b变量——>1b个变量

支路电流-连支电流&网孔电流
支路电压-节点电压 $u_{ab} = u_a - u_b$ &树支电压

支路电流

支路电压

二、支路分析法

1.支路电流法

定义：以支路电流为变量，建立电路方程(支路电流方程)进行分析计算的一种方法(其中的变量仅仅只有支路电流)

2b法先列出方程：

独立KCL方程数量为n-1，直接写出
独立的KVL方程一般寻找网孔！几个网孔就写几个独立KVL方程
支路的VAR(流控型)

再把支路电压全消掉：

KCL方程保留
用支路VAR带入独立KVL方程小区支路电压
联立求解

总结：

先写出所有的独立KCL

$\Sigma R_k*i_k = \Sigma u_{sk}$ (将KVL针对电阻的电压直接使用欧姆定律表示)

2.支路电压法

定义：以支路电压为变量，建立电路方程(支路电压方程)进行分析计算的一种方法(其中的变量仅仅只有支路电压)

具体推导过程与支路电流法相似，消掉的为电流(压控型)

三、节点分析法

定义：以节点电压为变量，建立电路方程(节点电压方程)进行分析计算的一种方法

节点电压就是节点电位，既然是电位就需要选定一个参考点(参考点电位为0)

关于节点电压的参考点方向的选定：任何一个节点与参考点想分析，参考点永远取负极性

节点电压方程本质上是KCL！

节点电压符号： $u_{n1}$ , $u_{n2}$ ......

一般电路，节点数比支路数少

方程推导：

写出除了参考点以外的KCL方程(此时一定独立)
写出所有支路电压和节点电压关系的KVL方程(利用参考点计算支路电压，把支路电压用节点电压表示)
支路VAR(必须是压控型)(支路电流需要被支路电压表示)
消去支路电压、支路电流，只剩下节点电压，将以上全部带入KCL方程即可

自电导 $G_{ii}$ =节点i所有支路的电导(与电流源 $R_s$ 串联的除外)之和
互电导 $G_{ij}$ =节点i与j之间相连支路电导(与电流源 $R_s$ 串联的除外)之和的负值
电源的贡献 $J_i$ =节点i所有电流源和等效电流源电流的代数和(注入节点为正)(将受控源看作是独立源，在使用等效替换即可得出电流与电导、电压的代数关系)

先处理与电流源串联的虚元件，直接短接即可

等式左边电流流出为正，右边流入为正

有伴电压源( $u_s+R$ )：电压源能够与一个电阻串联

1.由 $R$ ， $i_s$ ， $u_s+R$ (有伴电压源)组成的电路，互电导对称 $G_{ij} = G_{ji}$

2.含有无伴电压源的电路

（1）无伴电压源的一端取参考点：这样对另一端取节点，该节点电压便可以取到 $u_s$

（2）无伴电压源不与参考点相连：改进节点法(由于节点法只能够处理压控型支路，当出现流控型支路时原有的节点法无法处理，原因是只选择了电压作为变量，改进选择一部分电流)节点电压、附加电流(流控型支路)

首先将电压源 $u_s$ 想象为电流源 $i_0$ ，将其作为独立电流源进行处理

附加方程: $u_{n1}-u_{n2} =u_{s}$

3.含受控源的电路

与节点分析法类似

四、网孔分析法

网孔是平面电路的概念，只适用于平面电路

选择电流为变量，在支路电流法的基础上进一步减少电流

网孔电流 $i_{m1}$ , $i_{m2}$ ......：沿着网孔边界流动的电流(假想电流)

每条支路最多流过两个网孔电流(两个网孔的公共支路)，只流过一个网孔电流时，该电流就是支路电流

网孔分析法：以网孔电流为变量，建立电路方程(网孔电流方程)进行分析计算的一种方法

使用网孔分析法时，取所有电流方向一致！(顺时针)

位于外围网孔支路电流就是网孔电流，公共支路电流是相减的关系！

沿着网孔电流方向，按照关联参考方向，取电压降为正

支路的VAR必须是流控型，否则网孔法不能使用

网孔电流法本质还是KVL

$R_{11}*i_{m1}+R_{12}*i_{m2}+R_{13}*i_{m3} = E_1$

其余与节点电压类似

自电阻 $R_{ii}$ = 第i个网孔中所有支路的电阻(与电压源并联的除外)之和

互电阻 $R_{ij}$ = 网孔i与j公共支路电阻(与电压源并联的除外)之和的负值

$E_i$ 为独立源的贡献：第i个网孔中所有电压源和等效电压源电压升的代数和(电压升取正)

有伴电流源：电流源能找到和他并联的电阻

1.由 $R$ ， $u_s$ ， $R+i_s$ (有伴电流源)组成的电路， $R_{ij} = R_{ji}$

2.含无伴电流源的电路：

（1）无伴电流源位于外围网孔，其电流就就是该网孔电流

（2）无伴电流源位于公共支路，将电流源看作为电压源，补充方程 $i_{m2}-i_{m1} = i_s$

3.含受控源的电路

处理思路与节点法相似，把控制量用节点电压表示

五、电路拓扑图的基本概念

在使用KCL、KVL时，只与支路间的连接方式有关，与支路的性质没关，故可以化为直线进行处理

(对直线的长度和形状没要求，只要连接对应节点即可)

拓扑图：支路和节点的集合
无向图：支路不带方向的拓扑图
有向图：每条支路都带方向(关联参考方向)的拓扑图
连通图：任意两个节点之间至少存在一条回路的拓扑图

假定所有的拓扑图都是连通的：将两个节点用短路线连接后，使用闭合面的KCL方程进行验证即可

(即将不连通的拓扑图转化为铰链图)

子图：回路，树
回路：闭合路径

树(星树、线树)：

连通图
不含有回路
子图要包含原图的所有节点

一个拓扑图的树不是唯一的！

树枝(n-1)：对一个特定的树选定的线段是树枝显示的

连支(b-n+1)：每条连支对应一个基本回路

基本回路(b-n+1)：单连支的回路，基本回路一定是独立的！

六、回路分析法

基于KCL，所有的支路电流用连支电流表示

适用于平面电路和非平面电路

独立回路：基本回路

以连支电流为变量建立电路方程计算的方法

基本回路方向：取该回路中连支的方向作为基本回路的方向

对于树上的电流，用和他相同方向的连支电流减去相反的连支电流(树枝上支路电流方向由自己假定)

回路电流方程：以回路电流(连支电流)为变量的方程

推导过程：

列写独立KCL方程：支路电流用连支电流表示
列写KVL方程：针对基本回路进行列写(沿着回路方向电压降为正)
列写支路方程：流控型VAR
把1带入3，消去支路电流，紧接着带入2，剩下连支电流

体现的是KVL

$R_{ii}$ ：第i个支路的自电阻，第i个支路中所有电阻(与电压源并联除外)之和

$R_{ij}$ ：互电阻，其绝对值为第i个回路和第j个回路公共电阻之和，若两个电流以相同的方向流过电阻，取正；否则取负

$E_i$ ：第i个回路中，所有电压源和等效电压源电压升的代数和

很容易处理无伴电流源：

把无伴电流源选择在连支上即可

第四章电路定理

一、叠加定理和齐性定理

叠加是线性中的一条(叠加性和线性)

沿着回路电流方向电压升的代数和！

i = 电压源的单独作用下的电流+-电流源的单独作用下的电流

叠加定理：在多个电源(独立源)的线性电路中，多个电源共同作用产生的响应(就是所要求的电压或电流)等于各个电源单独作用(对于其他电源自零，电压源短接，电流源开路)产生响应的叠加(代数和)

电源独立作用时的响应方向应当与总的相应方向相一致

$u(i) = \Sigma_i k_i*u_si + \Sigma_j H_j*i_sj$

$y = y_0 + H_1*i_s1 + H_2*i_s2$

电源分组：将原来的单个电源转化为一组电源，其余类似(常用于电桥平衡类问题)

说明：

叠加定理只适用于线性电路！
不能直接求功率，特别是电阻上的功率(功率与电流电压不是线性关系)
单独作用(电压源短接，电流源开路)
受控源在整个叠加过程中保留不动，原来怎么连还是怎么连(控制量可能发生变化)

齐性定理：线性电路中，所有的电源数值都增加k倍，其响应也增加k倍

单电源电路中各个支路的电压电流都成正比，比例系数与电源大小无关

黑箱问题：判断出黑箱网络内部存在电源后，将内部电源看作是一组电源，再使用叠加定理与齐性定理，将外部单独变化的单独进行分析，列出方程，其余与上述方法类似

二、等效电源定理

戴维宁定理(电压源串电阻)+诺顿定理(电流源并电阻)

求解两个参数时利用第一章知识计算！

1.戴维宁定理

戴维宁定理仍然属于等效范围内

一个含独立电流源的二端网络(二端网络包含的原件都是完整原件，即内部元件不会与外部耦合)，对外何以等效为电压源串电阻(戴维宁等效电路)，其中：

$u_{oc}$ (二端网络的开路电压)
$R_{eq}$ (戴维宁等效电阻)：在数值上等于N内独立源置零(受控源保持不变！)后所得二端网络的输入电阻(第二章，端口电压/电流)

两个网络是等效的=端口VAR相同

证明(使用叠加定理)：

$u = R_{eq}*i + u_{oc}$ (open circuit)
在原有N外部添加一个电流源，其中i为任意数值
对上述模型使用叠加定理，得到 $u = u' + u_{oc} = R_{eq}*i + u_{oc}$

解题步骤：

先将电路进行分解，将感兴趣的部分作为外部电路，剩余部分为二端网络进行化简
先求出开路电压 $u_{oc}$ ：将电路中感兴趣的地方断开，作为开路电压；避开电流源，找到对应的回路列出KVL方程；在上述回路中接着使用KCL求出电流(注意正负号)等式左边电压升取正，等式右侧电压降取负
求 $R_{eq}$ ：独立源置零后所得二端网络的输入电阻，电压源短接，电流源开路即可得到对应的戴维宁等效电阻
绘制戴维宁等效电路，外部电路保留相接
在等效电路的基础上计算所需的量(u/i)

含有受控源的戴维宁电路：

整体思路与不含受控源的戴维宁电路相似

求 $u_{oc}$
求 $R_{eq}$ ，此时受控源保留，若只含有一个受控源，则将u/i都是用受控量表示
接上外部电路求解

2.诺顿定理

一个含源的二端网络，对外可以等效为一个电流源并一个电阻(诺顿等效电路)

并联型使用KCL求解证明

电流源的电流 $i_{sc}$ (short current)：二端网络的短路电流

$G_{eq}$ ：诺顿等效电导，在数值上等于把二端网络N内部电源自零所得的无源二端网络N_0的输入电导(诺顿等效电导分之一就是戴维宁等效电阻)

$i = G_{eq}*u - i_{sc}$

看开路电压好求还是短路电流好：

开路电压用戴维宁
短路电流用诺顿

有的电路不存在戴维宁等效电路/诺顿等效电路：先求戴维南电阻，若电阻为零，则诺顿等效电路不存在；若诺顿电导为0，则戴维宁电路不存在

实验室方法：将戴维南电路进行短路，其短路电流就是诺顿电路的电流， $R_{eq} = u_{oc}/r_{sc}$

3.最大功率传递定理

二段网络固定不变，存在一个可变电阻，判断电阻阻值多少时为功率最大：

先将二端网络化为戴维南等效电路

$P_L = R_L*i^2 = R_L*(U_i/(R_s+R_L))^2$
$dP_L/dR_L = 0$

条件： $R_L = R_s$ 时为最大功率 $P_L = (u_s^2)/(4*R_s)$

此时传输效率50%，一般电路都小于50%

戴维宁定理和最大功率传输定理配合使用！

对一般网络的求解过程：

求戴维宁等效电路(开路电压、戴维宁等效电阻)
利用最大功率传递定理求解

三、替代定理(置换定理)

该定理适用于集中参数定理(线性或非线性都可以使用)

一个网络假设有一条支路(与内部无耦合)，且该支路的电压(电流)，可以将该支路用电压源(电流源)替代，此时保证用外部去求内部N时不变(基于工作点的等效)

替代前的电路和替代后的电路的解是唯一的

四、特勒根定理

特勒根定理的三种形式：

功率守恒定律： $\sum_{k = i}^{b} u_k*i_k = 0$ (矩阵形式： $u_b^T *i_t = 0$ )
拟功率守恒定律：两个相同拓扑结构的电路，其中一个取电压，另外一个取电流对应相乘求和仍然为零(拟功率) $\sum_{k = 1}^{b}u_k*i_{k_0}$
略

针对于一个二端口网络网络(双口网络)，对于任意的满足该网路特性的电压电流，一定成立该表达式： $u_1*i_1^0 + u_2*i_2^0 = u_1^0*i_1 + u_2^0*i_2$ (要么都取关联参考方向，要么都取非关联参考方向)，即 $u^T *i_0 = u_0^T*i$ (即内部的大网络不变，端口可以改变)

满足以上特性的原件为互易的 $u^T *i_0 = u_0^T*i$

五、互易定理

要求网络由互易原件构成

互易定理的三种形式(都是上述关系式的推导)

将网络中的电压源和电流表互换位置(使用拟功率守恒定律进行证明)，如果电压源保持不变，那么电流表读数不变(如果不相等，对应电流成比例变化(齐性定理))
将网络中的电流源和电压表互换位置(使用拟功率守恒定律进行证明)，如果电流源保持不变，那么电压表读数不变(如果不相等，对应电压成比例变化(齐性定理))
将网络中的电压源和电压表换为电流表和电流源，当两个电源数值相同时，两个表的读数相同

能用互易定理解决的都能用特勒根定理解决

六、对偶原理

u = iR；i = Gu
KCL；KVL
节点电压方程；网孔电流方程
电容；电感
戴维南定理；诺顿定理
......

第五章含运算放大器电阻电路的分析

主要讨论低频电路！

买到的是一个模块，通常含有多个运放

运放和外部电路相连的只有四个端口

一、运算放大器

运放是一个四端原件：

两个端加输入，一个输出端，还有一个公共端(通常为接地端，可简略不画)

符号(国标)：方框，内部为三角形符号标注

特点：

输入端的电流近似相等(由于电流很小从而近似)，这导致输入电阻很大 $R_{in}$ ： $M\Omega$
输出电压和输入电压在笛卡尔坐标系中符合三段形曲线(以输入电压为横坐标，输出电压为纵坐标)，在一定范围内为线性关系，整体符合非线性关系，
运放的电压曲线可分为三个区域， $\varepsilon$ 很小：负饱和区，线性区，正饱和区，饱和电压数值为 $E_{sit}$ ，饱和电压小于直流偏置电压
输出电阻 $R_o$ ：100 $\Omega$ 以下，很小

在线性区，近似为电压控制的电压源从而将原电路做出以下改变：

对输出的部分来说，将输出电压变为电压控制的电压源，同时考虑到输出电阻 $R_0$ ，电压为数值为 $Au_d$ (A为运放的开环放大倍数，数值大小为上图的斜率)

实际运放的A为有限的

对于输入部分可以看为一个电阻 $R_{in}$

理想化：

$R_{in}$ 可以近似看为无穷大
$R_o$ 可以看为零
运放模型被化为电压控制的电压源 $A*u_d$
A理想为无穷大， $u_d$ (输入电压)为零
此时特性曲线为阶跃曲线

二、理想运放

理想运放A为无穷大

输入端的连接方式：

将其中一个与公共端(-，上方)相连接，在另外一个端(+，下方)上加电压，输出电压和该电压符号相同(正向输入端)

将其中一个与公共端(+，下方)相连接，在另外一个端(-，上方)上加电压，输出电压和该电压符号相反(反向输入端)

理想运放的特性方程(虚短虚断特性)：

具有两个端口的原件(双口原件)

输入电流 $i_i$ = 0(虚断)
输入电压 $u_i$ = 0(虚短)

输入口既是开路又是短路

输出电压和电流没有约束

先通过理想运放进行分析，再考虑实际

运放简化的两种情况：

电压控制的电压源
理想运放

三、含运放电路的分析

直观法：KVL、KCL
节点法列方程

1.直观分析法(采用两类约束分析问题)

找回路(开路线是有特殊的回路)
KVL如果包含运放的输入端利用虚短特性
找节点，利用元件的VAR和KCL(如果包含运放的输入端利用虚断特性)
找回路解决电压问题

比例器(反向器)

$u_0 = -R_j/R_s*u_d$

加法器

$u_0 = -R_j*(u_{s1}/R_{s1}+u_{s2}/R_{s2})$

电感可以由运放进行替代，电感会引起磁效应且体积较大

2.节点分析法

反馈：加了输入后得到的输出，通过一条支路将输出再引回输入改变输入

注意：

在公共端直接接地，运放输出端的节点不列写节点电压方程
列节点电压方程直接利用虚断特性
上述方程补充虚短的特性方程(有几个运放就补充多少个特性方程)

对于输出端所假设的电压源同样可以按照假设电流进行求解

电阻电路部分到此结束，第一章主要介绍两类约束：基尔霍夫定律，五个原件(二端线性电阻，电压源，电流源，四种受控源，理想运放)的特性方程；第二章主要为等效变化，为了实现两条支路的合并，两种电源模型的等效互换，戴维南定理(含有独立电源的二端网络对外等效于一个电压源串一个电阻)，诺顿定理；第三章为节点电压方程等方程的列写；第四章主要为叠加定理，齐性定理，戴维南等效定理；第五章主要为理想运放的特性和含有理想运放的电路的分析

第六章动态元件(储能元件)

一、电容元件

1.构成原理

两个极板之间加入一定的介质，通过外加电源会在正负极板上产生电荷，极板之间会产生电场

u2E

2.量值

电荷与电压之比称为电容
符号：C，C = q/u(关联参考方向)
单位：法拉(F)(常用单位为 $\mu F$ ，pF)

3.库伏关系

在关联参考方向下，q = cu

线性电容来说，c为常数，对库伏关系绘制图像，为正比例函数

4.电容的伏安关系(VAR)

$i = dq/dt = dcu/dt = c*du/dt$ (关联参考方向)

如果端电压为正弦函数，则电流也为正弦函数
如果端电压为一个常数，则电流为0(直流时是开路)

5.功率和能量

关联参考方向：C吸收 $p = c*u*du/dt$ (由u和du/dt同时决定正负)
非关联参考方向：与关联参考方向类似
C从时间 $t_0$ 到t吸收的能量： $w = \int_{t_0}^{t}pdt = \int_{t_0}^{t}c*u*du/dt dt = 1/2(cu^2t-cu^2t_0)$

电容是储能元件！(以电场的形式进行存储)

6.电容是记忆元件

关联参考方向： $i = dq/dt = dcu/dt = c*du/dt$ ，同时对两侧进行积分， $ut-ut_0 = 1/2 \int_{t_0}^{t} i(\varepsilon )d\varepsilon$

任意时刻的电压等于电容在t = 0时刻的电压加另一个积分(变化过程中的面积)，因此电容元件是记忆元件

二、电感元件

1.构成原理

电感元件由导线绕制而成
i2B，B在一个面上积分得到磁通，进而得到磁链 $\psi$ ，变化的磁通链感应出电压 $u = d\psi/dt$

2.量值

电感的量值为磁链与电流之比 $L = \psi/i$ (关联参考方向、右手螺旋)
符号：L
单位：亨利(H)(常用单位mH)

3.韦安关系

L是线性的，数值则为正常数

绘制图像： $\psi = L*i$ 为正比例图像(关联参考方向)

4.VAR

关联参考方向： $u = d\psi/st = L*di/dt$

通过的电流为交流，则端电压为同频率的电压
通过的电流为直流，则u为0，短路

5.功率和能量

关联参考方向：L吸收p = ui = L*i*di/dt(由i和di/dt同时决定正负)

$w = \int_{t_0}^{t}pdt = 1/2(Li^2t-Li^2t_0)$

电感也是储能元件，记忆元件

6.电容电感的串并联

C并联(类似于两个电导并联)： $i = i_1+i_2 = c_1du/dt + c_2du/dt = (c_1+c_2)du/dt = c_{eq}du/dt$
L串联(似于电阻的串联)： $u = u_1+u_2 = L_1di/dt+L_2di/dt = (L_1+L_2)di/dt = L_{eq}di/dt$

第七章一阶电路和二阶电路的时域分析

时域分析：如何从一个状态到另一个状态

一、动态电路的方程及初始条件

1.概念

动态元件：L、C(由微分或积分形式表示)
由动态元件构成的电路称为动态电路：微分方程(要想有唯一的解，要有一个初始值(初始条件))能用一阶微分方程描述的电路为一阶电路，能用二阶微分方程描述的电路为二阶电路
激励、响应
换路：电路的结构或参数发生了改变
过渡过程(暂态过程、瞬变过程)：电路发生换路之后，电路从一种工作状态到另外一种工作状态
$0_-0_+$ 时间系统：如果t = 0发生换路， $0_-$ 指换路前的最后一瞬间， $0_+$ 指换路后的最初一瞬间

2.初始条件的意义

$i = c*du/dt$
$u_R = R*i$
$u_L = L*c*du/dt$
$t\geqslant 0$ ： $L*c*du/dt+R_L*du_t/dt+u_c = u_0$
$u_c(0_+)$
$u_c'(0_+)$ (初始条件补充)

3.电容的电荷电压的初始条件

$i_c = dq/dt$ ，对两侧同时积分，得到 $\int_{0_-}^{0_+}i_c dq = \int_{0_-}^{0_+}dq$
若换路瞬间i不是无穷大，电荷在换路前和换路后时相等的 $q(0_+) = q(0_-)$
$u_c = c*du/dt$ ，，对两侧同时积分，得到 $u_c(0_+)-u_c(0_-) = 1/C\int i_c$
若换路瞬间i不是无穷大，电容的电压也是相等的 $u_c(0_+) = u_c(0_-)$

把换路后和换路前的条件联系起来

4.电感的磁链电流的初始条件

$u_L = d\psi/dt$ ，对两侧进行积分， $\psi(0_+) = \psi(0_-)+\int{u_L}$
若换路的一瞬间，电感的电压不是无穷大，则换路前的磁链等于换路后的磁链 $\psi(0_+) = \psi(0_-)$
类似，若换路瞬间，电感的电压不是无穷大，电流在换路前和换路后相等 $i_L(0_-) = i_L(0_+)$

换路定则：

在换路的瞬间，若电感的电压不是无穷大，电容的电流不是无穷大，电容的电压电荷不发生改变，电感的电流磁链也不发生改变

$u_c(0_+) = u_c(0_-)$ ； $i_L(0_-) = i_L(0_+)$ (独立初始条件)
$q(0_+) = q(0_-)$ ； $\psi(0_+) = \psi(0_-)$

与独立初始条件对应的是非独立初始条件

5.电路初始条件的计算

独立初始条件：

做 $0_-$ 电路图(换路前)C：开路，L：短路，求出 $u_c i_L$
由换路定则求 $u_c(0_+) u_c(0_-)$

非独立初始条件：

先做独立初始条件下的两步
做 $0_+$ 电路图：C：电压源 $u_c(0_+)$ (如果此时电压为零，用短路替代)，L：电流源 $i_L(0_+)$ (如果此时电流为零，用开路替代)
从中求出非独立初始条件

对于动态电路而言，所列出的方程为微分方程或积分方程，求解时需要初始值，因此需要初始条件进行求解

二、线性一阶电路的经典分析法

经典法：列方程求解

1.经典法分析RC电路

全响应：动态电路中有初始条件的储能元件在外界激励的作用下的响应

以 $u_c(t)$ 为未知量
列出KVL方程： $R*C*du/dt+u_c = u_s$
利用换路定则代入

特解为右端项！

时间常数 $\iota =RC$ ： $\tau$ 越大，电路过渡的越慢，单位为秒

5 $\tau$ -7 $\tau$ 即认为过渡过程结束
1 $\tau$ 变化36.8%
几何上次切线的长度就是 $\tau$

全响应 = 强制分量(由激励决定) + 自由分量(随时间变化) = 稳态分量 + 暂态分量 = 零状态+零输入

2.RL电路的分析

闭合前 $i_L$ = 0

零状态响应：储能元件最开始无初始值，仅仅存在外界激励
P：固有频率
时间常数 $\tau$ = L/R = -1/P

若闭合前存在初值 $i_0$ ，，但不存在激励

零输入响应：储能元件最开始有初始值，但不存在外界激励
将零状态与零输入相加同样可以得到全响应

三、线性一阶电路的三要素法

1.RC/RL动态电路

利用有源二端网络的等效先进行化简

对于内部的二端网络都可以等效为一个电压源串一个电阻，所的方程形式：

$A*dy/dt+y = B$
$y = y'+y''=y(\infty)+k*e^{-t/\tau } =y(\infty) + [y(0_+)-y(\infty)]*e^{-t/\tau }$

只需要求出 $y(\infty)$ 、 $y(0_+)$ 、 $\tau$ 即可(三要素)

2.三要素法分析线性一阶电路

$y(0_+)$ (看y是什么变量)：

a.独立初始条件 $u_c$ ， $i_L$ ：

做 $0_-$ 电路图，求出 $u_c(0_-)$ 和 $i_L(0_-)$
由换路定则求出 $u_c(0_+)$ 和 $i_L(0_+)$

b.非独立初始条件：

做 $0_-$ 电路图，求出 $u_c(0_-)$ 和 $i_L(0_-)$
由换路定则求出 $u_c(0_+)$ 和 $i_L(0_+)$
做 $0_+$ 电路：C相当于 $u_s$ = $u_c(0_+)$ ，L相当于 $i_s$ = $i_L(0_+)$
在上述电路中求出 $y(0_+)$

$y(\infty)$ (时间趋向于无穷大时对应待求量的电压和电流)：

做t趋向于 $\infty$ 的电路，C相当于开路，L相当于短路
求 $y(\infty)$

$\tau$ ：

$\tau =R_{eq}*C$ ( $R_{eq}$ ：把电路所有独立源置零，从C两端看去的等效电阻/输入电阻)
$\tau =L/R_{eq}$ ( $R_{eq}$ ：把电路所有独立源置零，从L两端看去的等效电阻/输入电阻)

$y(t) = f(\infty)+[f(0_+)-f(\infty)]*e^{-t/\tau }$ $t\geqslant 0$ (换路后！)

上述公式对线性一阶电路任意处的电压电流都成立

四、单位阶跃响应和单位冲激响应

1.单位阶跃函数1(t)

定义：1(t) = 0 t小于0；1(t) = 1大于等于0

物理意义：一个1V电压源通过开关外接一个电阻电路 = 一个单位阶跃电源外接一个电阻电路

性质：

延迟性质： $1(t-t_0)$ 从 $t_0$ 时刻开始阶跃
起始函数：f(t)*1(t)让f(t)从t = 0开始作用；f(t)*1(t- $t_0$ )让f(t)从 $t_0$ 开始作用
描述脉冲函数： $f(t) = A*1(t-t_0)-A*1(t-t_1)$
导数：在t = 0处求导为无穷大

2.单位冲激函数( $\delta (t)$ )

定义： $\delta (t)$ = 0 t不等于0； $\delta (t)$ = $\infty$ t等于0且 $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta (t)dt = 1$

性质：

延迟性质： $\delta (t-t_0)$ 在 $t_0$ 为无穷大
乘零：0* $\delta (t)$ = 0
筛分性质：f(t)* $\delta (t)$ = f(0)* $\delta (t)$ 只有在t = 0时有值
积分性质： $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta (t)dt = f(0)$ 把连续的时间函数变成离散的函数(运放)
d1(t)/dt = $\delta (t)$ ； $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta (t) = 1(t)$

3.单位阶跃响应

概念：动态电路在单位阶跃激励作用下所产生的零状态响应

利用物理意义：一个1V电压源通过开关外接一个电阻电路 = 一个单位阶跃电源外接一个电阻电路

4.RC电路的单位冲激响应

概念：动态电路在单位冲激激励作用下所产生的零状态响应

对微分方程从 $0_-$ 到 $0_+$ 进行积分， $R_c(0_+) = 1/RC$

转化为零输入方程！

$u_c$ ， $i_L$ 中不含冲激， $u_c$ 在 $0_-0_+$ 时刻发生跃变
$i_c$ ， $u_L$ 中会含有冲激

5.线性一阶电路中的性质

设激励为1(t)，对应响应r(t)，若激励k1(t)，则对应响应为kr(t)(零状态响应)(类似于电阻电路中的齐性定理)
若激励为1(t)，对应响应r(t)，当激励f(t) = d1(t)/dt时，对应响应为dr(t)/dt(零状态响应)可以将冲激响应转化为阶跃响应进行求解，起始函数r(t)*1(t)(要求 $0_-$ 以前数值为零)
线性电路的时不变性质：若激励1(t)作用下的零状态响应为r(t)，当激励变成了 $1(t-t_0)$ ，对应响应为 $r(t-t_0)$