电路理论基础

电路理论基础

[电路理论基础].梁贵书.扫描版(ED2000.COM).pdf

书名	作者	出版社	阅读日期
电路理论基础	梁贵书、董华英	中国电力出版社	2020年10月8日

前提

理论类书籍通常都是由浅入深的讲解，从一个最简单的特例作为引子，再引申为更普遍的结论。这篇笔记里不对特例结论进行记载，直接记录普遍结论。

基本概念

电路理论有两个组成部分

1. 电路分析：给定激励求响应
2. 电路方法：实现响应搭电路

电的物理量

电流、电压、电荷、磁链、功率、能量

基尔霍夫定律

1. KCL：节点电流代数和为零

2. KVL：回路电压代数和为零

图论

• 回路：每个节点连接2条支路
• 树：连通，包含所有节点，不含回路
• 割集：将图割成两个子图的一组最少支路

稳态电路分析方法

名称	简介	备注	优点	缺点
2b分析法	(n-1)个KCL+(b-n+1)个KVL+b个VAR=2b个方程	n:节点数 b:支路数	列方程简单，能求出所有节点、支路、元件的各个参数	有的时候只需要求解某一路或某几路的参数，计算过于繁琐
等效变换法	拥有相同VAR关系的等效网络间的变换	如电源模型等效变换	化简电路，方便求解	需要经验和灵感
支路分析法	(n-1)个KCL+(b-n+1)个KVL结合VAR=b个方程***或***(b-n+1)个KVL+(n-1)个KCL结合VAR=b个方程	将2b分析法中的b个VAR结合到了KCL或KVL中	方程数比2b少了一半
节点分析法	(n-1)个节点电压方程${\mathbf{G}}_n{\mathbf{u}}_n={\mathbf{I}}_n$	记忆$G_{ii}{G}_{ij}{i}_{sii}$的含义	便于计算机编程计算	需要一定的记忆量
网孔分析法	(b-n+1)个网孔电流方程${\mathbf{R}}_n{\mathbf{i}}_n={\mathbf{U}}_n$	记忆$R_{ii}{R}_{ij}{u}_{sii}$的含义	和节点分析法对应	需要一定的记忆量
回路分析法	(b-n+1)个回路电流方程	网孔分析法的推广，记忆$R_{ii}{R}_{ij}{u}_{sii}$的含义	能用于非平面电路	寻找回路较为抽象
改进节点分析法	$\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{G}}_n& \mathbf{B}\\ \mathbf{C}& \mathbf{D}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{u}}_n\\ \mathbf{i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_S\\ {\mathbf{U}}_S\end{array}\right]$n+m-1个方程，m为附加电流变量数目	记忆${\mathbf{G}}_n\mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{D}{\mathbf{I}}_S{\mathbf{U}}_S$的含义	适用于各种电路	记忆量大

常用等效变换

1. 星形网络和三角网络变换$R_{ij}=\frac{R_i{R}_j+R_i{R}_k+R_j{R}_k}{R_k}$ $R_i=\frac{R_{ij}{R}_{ik}}{R_{ij}+R_{ik}+R_{jk}}$

​ 2.电源位移

电路定理

• 线性电路特性：

  1. 叠加：总响应等于各个激励单独作用时的响应之和。不作用的电压源短路，电流源开路。
  2. 齐性：激励和响应同时放大缩小相同倍数仍成立。
  3. 戴维南：二段网络等效为电压源串电阻。开路电压、等效电阻与端口u,i的关系式。
  4. 诺顿：二段网络等效为电流源并电阻。短路电流、等效电阻与端口u,i的关系式。
  5. 互易：仅含电阻的单一激励电路，激励和响应互换位置仍然成立。三种形式：电流源和短路电流，电压源和开路电压，电压源换短路电流、电流源换开路电压。

• 也适用于非线性电路定理：

  1. 替代：支路上的无耦合元件可以用等于该支路电压/电流的电压源/电流源替代。
  2. 特勒根：第一定理本质是能量守恒，提供功率和等于消耗功率和，电路的支路电压和支路电流的乘积代数和为零。第二定理比较有意思。两个拓扑结构一样的电路,一个电路的支路电压（电流）和另一个电路对应支路的电流（电压）乘积代数和也为零。
  3. 对偶：对偶元素全部互换仍成立。

双口网络

双口网络常用类型

• 开路电阻

  $$\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{R}_{11}& R_{12}\\ R_{21}& R_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_1\\ i_2\end{array}\right]$$ $R_{ii}=\frac{u_i}{i_i}{|}_{i_j=0}$ $R_{ij}=\frac{u_i}{i_j}{|}_{i_i=0}$

• 短路电导

  $$\left[\begin{array}{c}{i}_1\\ i_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{G}_{11}& G_{12}\\ G_{21}& G_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]$$ $G_{ii}=\frac{i_i}{u_i}{|}_{u_j=0}$ $G_{ij}=\frac{i_i}{u_j}{|}_{u_i=0}$

• 传输
  $$\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ i_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_2\\ -i_2\end{array}\right]=\mathbf{T}\left[\begin{array}{c}{u}_2\\ -i_2\end{array}\right]$$

  $A=\frac{u_1}{u_2}{|}_{i_2=0}$ $B=\frac{u_1}{-i_2}{|}_{u_2=0}$ $C=\frac{i_1}{u_2}{|}_{i_2=0}$ $D=\frac{i_1}{-i_2}{|}_{u_2=0}$

• 混合

  $$\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ i_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{h}_{11}& h_{12}\\ h_{21}& h_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_1\\ u_2\end{array}\right]=\mathbf{H}\left[\begin{array}{c}{i}_1\\ u_2\end{array}\right]$$

  $h_{11}=\frac{u_1}{i_1}{|}_{u_2=0}$ $h_{12}=\frac{u_1}{u_2}{|}_{i_1=0}$ $h_{21}=\frac{i_2}{i_1}{|}_{u_2=0}$ $h_{22}=\frac{i_2}{u_2}{|}_{i_1=0}$

  $$\left[\begin{array}{c}{i}_1\\ u_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{h}_{11}^{\prime }& h_{12}^{\prime }\\ h_{21}^{\prime }& h_{22}^{\prime }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ i_2\end{array}\right]={\mathbf{H}}^{\prime }\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ i_2\end{array}\right]$$

  ${\mathbf{H}}^{\prime }={\mathbf{H}}^{-1}$

  双口网络参数矩阵互换表

双口网络连接

• 级联：1输出接2输入。采用传输参数分析，$\mathbf{T}={\mathbf{T}}_1{\mathbf{T}}_2\cdots {\mathbf{T}}_n$ 、
• 串联：输入输出分别串接。$\mathbf{R}={\mathbf{R}}_1+{\mathbf{R}}_2+\cdots +{\mathbf{R}}_n$
• 并联：输入输出分别并联。$\mathbf{G}={\mathbf{G}}_1+{\mathbf{G}}_2+\cdots +{\mathbf{G}}_n$

运放端口特性

$u_o=A(u_{+}-u_{-})$

运放基本应用不在本书总结，会在其他随笔中做总结

回转器

$$\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -r\\ r& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_1\\ i_2\end{array}\right]$$

可以将一个端口的电流（电压）转为另一个端口的电压（电流），可以将一个端口的电容（电感）转为另一个端口的电感（电容）

动态线性电路分析

n阶电路输入输出方程（n为电路中独立储能源元件数目）：
$$a_n\frac{d^{n}y(t)}{d{t}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=f_s(t)$$

换路：电源的接通和切断，电路参数的突然变化，电路结构的改变。

换路定则：电容电流（电感电压）为有限值时，电容上的电荷和电压（电感上的电流和磁链）不能跃变。

初始响应求解步骤：

• 根据换路前稳态电路求出$u_C(0_{-})\text{和}{i}_L(0_{-})$
• 根据换路定则和$t=0^{+}$时刻电路响应

全响应

自由响应：在有损电路中也叫暂态响应

强迫响应：输入为常数或周期函数时也叫稳态响应

过渡过程求解步骤：

• 求初始响应
• 求强破响应（特技）
• 求自由响应（通解），需要使用常微分方程相关知识
• 全响应=强迫响应+自由响应

三要素法：对应一般一阶电路，求得初始值、稳态值和时间常数可以直接得出全响应方程
$$y(t)=y_p(t)+[y(t_{0+})-y_p(t_{0+})]e^{-\frac{t-t_{0+}}{\tau }}(t⩾t_{0+})$$
全响应也可以表示为：全响应=零输入响应+零状态响应

特殊零状态响应

• 阶跃函数$\epsilon (t)$：用来表征电路中的开关动作

• 冲激函数$\delta (t)$：筛选函数瞬间值,冲激响应可以使电容电压和电感电流跃变

• 冲激响应为阶跃响应的导数

卷积

$u_s(t)\otimes h(t)={\int }_{0_{-}}^t{u}_s(\tau )h(t-\tau )d\tau$

卷积满足交换律

状态方程

$\mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}\mathbf{u}$ $\mathbf{y}$为输出向量，对于$n$个状态变量，$m$个输入，$l$个输出的电路。$\mathbf{C}$为$l\times n$的矩阵，$\mathbf{D}$为$l\times m$的矩阵。

直观法列写多阶线性时不变电路状态方程的步骤：

• 选取独立电容电压和独立电感电流为状态量
• 对每个独立电容，选用一个节点或割集；对每个独立电感，选用一个回路
• 将方程中输入以外的非状态变量用状态变量和输入表示

正弦稳态电路分析

相量：描述了正弦量三要素中的振幅和初相，不包含频率信息

相量运算特性：唯一性，线性，微分$ph[\frac{d^{n}i(t)}{d{t}^n}]=(j\omega {)}^n\dot{\mathbf{I}}$，积分$ph[\int \cdots \int i(t)dt\cdots dt]=\frac{1}{(j\omega {)}^n}\dot{\mathbf{I}}$

平均功率$P=UI\cos \theta$ $\theta ={\phi }_u-{\phi }_i$ 无功功率$Q=UI\sin \theta$

视在功率$S=UI$ 功率因数$\cos \theta$ 复功率$\tilde{S}=P+jQ=S\angle \theta$

相量分析法：使用几何知识求解电路正弦网络函数

正弦网络函数：$A_u(j\omega )$、$A_i(j\omega )$、$Y_T(j\omega )$、$Z_T(j\omega )$

频率特性曲线：幅频特性曲线、相频特性曲线

通频带BW：幅值大于最大值$\frac{1}{\sqrt{2}}$的部分的频率范围,截止频率（转折频率）${\omega }_c$

谐振与互感

谐振内容见电磁学相关内容

互感：电流从同名端流入，互感为正。耦合系数$k=\frac{M}{\sqrt{L_1{L}_2}}$

互感电路分析：

• 互感消除：仅有二端和三端耦合电感的电路
• 回路分析
• 反映阻抗法：适用于变压器

三相电路

三组频率相同，相位差120°的交流系统

• Y接法：${\mathbf{I}}_l={\mathbf{I}}_{ph}$ ${\mathbf{U}}_l=\sqrt{3}{\mathbf{U}}_{ph}\angle 30^{\circ }$

• $△$接法：${\mathbf{U}}_l={\mathbf{U}}_{ph}$ KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ang at position 41: …ldsymbol I_{ph}\̲a̲n̲g̲-30^\circ

非正弦周期信号分析

傅里叶展开：$f(t)=A_0+{\sum }_{k=1}^{\infty }{A}_{km}\sin (k\omega t+{\theta }_k)$ A₀为直流分量

谐波分析法：通过傅里叶展开后再由叠加原理叠加

周期性非正弦三相电中的6k+1次谐波组成正序，6k+5组成负序，6k+3组成零序，偶数次谐波都为0

非线性电路分析

PN结二极管低频下可以视为非线性电阻 $i=I_S(e^{u/U_T}-1)$

N形负阻、S形负阻

静态电阻和动态电阻(电阻变化率)

DP图图解法：将两个或多个非线性元件特性曲线进行叠加

静态工作点：DP图的交点

小信号分析法：在静态工作点附近使用泰勒级数展开，省略二次项。
$$\{\begin{array}{l}△i(t)+△i_R(t)=0\\ △u(t)-△u_R(t)=0\\ △u(t)=R△i(t)+u_s(t)\\ △u_R(t)=R_{dQ}△i_R(t)\end{array}$$
小信号电路于原电路有相同结构，差别在于把直流电源置零，非线性电阻用直流工作点处动态电阻代替

分段线性法：将特性曲线分段，每段都为线性特征，分别求解，可以使用动态路径法

线性动态电路复频域分析

主要思想是把时域的积分微分方程转化为s域的代数方程，方便运算，再将运算结果反变换还原为时域方程

拉氏变换的性质：

• 唯一性

• 线性

• 时域微分性质：$\mathcal{L}[\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}]=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0_{-})-s^{n-2}{f}^{\prime }(0_{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0_{-})$

• 时域积分性质：$\mathcal{L}[{\int }_{0_{-}}^{t}f(\tau )d\tau ]=\frac{F(s)}{s}$

• 时域位移性质：时域位移后，象函数多一项因子$e^{-s{t}_0}$

• 频域位移性质：$\mathcal{L}[f(t)e^{-at}]=F(s+a)$

• 卷积定理：$\mathcal{L}[u_s(t)\otimes h(t)]=U_s(s)\cdot H(s)$

时域经过拉式变换后，会将象函数化简为常用函数的象函数中的有的象函数形式，其中，让分母为零的点为极点，分子为零的点为零点。

运算电路：将时域模型替换为s域模型

复频域的网络函数中，极点为电路固有频率，零点为输出为零的点。

电路代数方程矩阵形式

基本概念：

• 关联矩阵：节点电流写出来的矩阵${\mathbf{A}}_a$

• 基本回路矩阵：回路电压写出来的矩阵${\mathbf{B}}_f$

• 基本割集矩阵：割集包含支路写出来的矩阵${\mathbf{Q}}_f$

• ${\mathbf{A}\mathbf{B}}_f^T=0{\mathbf{Q}}_f{\mathbf{B}}_f^T=0$

• $\mathbf{A}=[{\mathbf{A}}_l{\mathbf{A}}_t],\mathbf{B}=[1_l{\mathbf{B}}_t],{\mathbf{Q}}_f=[{\mathbf{Q}}_l{1}_t]$

• 支路方程：
  $$\begin{gathered} {\dot{\mathbf{I}}}_b={\mathbf{Y}}_b{\dot{\mathbf{U}}}_b+{\mathbf{Y}}_b{\dot{\mathbf{U}}}_s-{\dot{\mathbf{I}}}_s \\ {\dot{\mathbf{U}}}_b={\mathbf{Z}}_b{\dot{\mathbf{I}}}_b+{\mathbf{Z}}_b{\dot{\mathbf{I}}}_s-{\dot{\mathbf{U}}}_s \\ \mathbf{M}{\dot{\mathbf{I}}}_b+\mathbf{N}{\dot{\mathbf{U}}}_b={\dot{\mathbf{U}}}_s+{\dot{\mathbf{I}}}_s \end{gathered}$$

分析方法：

• 节点电压：
  $$\begin{gathered} {\mathbf{Y}}_n=\mathbf{A}{\mathbf{Y}}_b{\mathbf{A}}^T \\ {\dot{\mathbf{J}}}_n=\mathbf{A}{\dot{\mathbf{I}}}_s-\mathbf{A}{\mathbf{Y}}_b{\dot{\mathbf{U}}}_s \\ {\mathbf{Y}}_n{\dot{\mathbf{U}}}_n={\dot{\mathbf{J}}}_n \end{gathered}$$

• 回路电流：
  $$\begin{gathered} {\mathbf{Z}}_l={\mathbf{B}}_f{\mathbf{Z}}_b{\mathbf{B}}_f^T \\ {\dot{\mathbf{U}}}_l={\mathbf{B}}_f{\dot{\mathbf{U}}}_s-{\mathbf{B}}_f{\mathbf{Z}}_b{\dot{\mathbf{I}}}_s \\ {\mathbf{Z}}_l{\dot{\mathbf{I}}}_l={\dot{\mathbf{U}}}_l \end{gathered}$$

• 割集电压：

$$\begin{gathered} {\mathbf{Y}}_t={\mathbf{Q}}_f{\mathbf{Y}}_b{\mathbf{Q}}_f^T \\ {\dot{J}}_t={\mathbf{Q}}_f{\dot{I}}_s-{\mathbf{Q}}_f{\mathbf{Y}}_b{\dot{U}}_s \\ {\mathbf{Y}}_t{\dot{U}}_t={\dot{J}}_t \end{gathered}$$

• 稀疏表格法：2b+n个变量的矩阵

$$\begin{gathered} \text{KCL:}{\mathbf{A}\dot{\mathbf{I}}}_b=0 \\ \text{KVL:}{\dot{\mathbf{U}}}_b-{{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\dot{\mathbf{U}}}_n=0 \\ \mathbf{M}{\dot{\mathbf{I}}}_b+\mathbf{N}{\dot{\mathbf{U}}}_b={\dot{\mathbf{U}}}_s+{\dot{\mathbf{I}}}_s \end{gathered}$$

​ 合并为:
$$\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{A}& 0& 0\\ 0& 1& -{\mathbf{A}}^T\\ \mathbf{M}& \mathbf{N}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{\mathbf{I}}}_b\\ {\dot{\mathbf{U}}}_b\\ {\dot{\mathbf{U}}}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\mathbf{F}}_s\end{array}\right]$$

分布参数电流

电报方程：
$$\begin{gathered} -\frac{\partial u}{\partial x}=R_{0}i+L_0\frac{\partial i}{\partial t} \\ -\frac{\partial i}{\partial x}=G_{0}u+C_0\frac{\partial u}{\partial t} \end{gathered}$$
频域形式：
$$\begin{gathered} -\frac{\mathrm{d}\dot{U}}{\mathrm{d}x}=(R_0+j\omega L_0)\dot{I}=Z_0\dot{I} \\ -\frac{\mathrm{d}\dot{I}}{\mathrm{d}x}=(G_0+j\omega C_0)\dot{U}=Y_0\dot{U} \\ \gamma =\alpha +j\beta =\sqrt{Z_0{Y}_0}=\sqrt{(R_0+j\omega L_0)(G_0+j\omega C_0)} \\ {Z}_c=\sqrt{\frac{Z_0}{Y_0}}=\sqrt{\frac{(R_0+j\omega L_0)}{(G_0+j\omega C_0)}} \end{gathered}$$

通解：
$$\begin{gathered} \dot{U}=A_1{e}^{-\gamma x}+B_1{e}^{\gamma x} \\ \dot{I}=\frac{A_1}{Z_C}{e}^{-\gamma x}-\frac{B_1}{Z_C}{e}^{\gamma x} \end{gathered}$$
传输矩阵：
$$\mathbf{T}=\left[\begin{array}{cc}\cosh \gamma l& Z_c\sinh \gamma l\\ Y_c\sinh \gamma l& \cosh \gamma l\end{array}\right]$$
波的反射：

电报方程的频域通解形式中的两项分别是入射波分量和反射波分量

反射系数：$N=\frac{Z_2-Z_C}{Z_2+Z_C}{e}^{-2\gamma x\prime }$ Z₂为终端阻抗，Z_c为传输线特性阻抗，x’为点到终端的距离，γ为传播常数

输入阻抗与反射系数的关系：$N=\frac{Z-Z_c}{Z+Z_c}$ Z为输入阻抗

无畸变线

$\frac{L_0}{R_0}=\frac{C_0}{G_0}\gamma =\sqrt{R_0{G}_0}+j\omega \sqrt{L_0{C}_0}{Z}_c=\sqrt{\frac{L_0}{C_0}}$

无损耗线

是无畸变线的特例

$R_0=0G_0=0\gamma =j\omega \sqrt{L_0{C}_0}{Z}_C=\sqrt{\frac{L_0}{C_0}}$

驻波：波腹、波节位置固定

有限长无损线：可以作为储能元件，可以作为阻抗变换器

高频传输线可以当作无损耗线

无损号线的反射：柏德生法则，将反射瞬间电路等效为集中参数电路

无损号线的折射：略