16、单调数据可视化与C1单调散点数据插值

单调数据可视化与C1单调散点数据插值

1. 引言

在计算机图形环境中，用户常常需要具有形状保留、形状控制等特性的插值方案。普通的插值技术虽然更平滑，但对于可视化具有特定形状的数据并无太大帮助。数据的基本形状包括正性、单调性和凸性，其中单调性是一个重要的形状属性。在许多物理场景中，只有当实体的值具有单调性时才有意义，比如生物化学和药理学中的剂量 - 反应曲线和曲面、统计学中对夫妇和准夫妇的近似、金融中的经验期权定价模型以及物理和化学系统中对势函数的近似。

此前已有不少人讨论过单调散点数据的形状保留问题。例如，Beliakov提出了一种多元散点数据的单调插值和平滑方法，将受单调性约束的噪声数据平滑问题转化为二次规划问题，但该方案仅适用于保留单调Lipschitz连续函数的形状。Delgado和Peña证明了矩形和三角形网格上的有理贝塞尔曲面不具有轴向单调性保留特性。Floater和Peña定义了三角形上二元函数系统的三种单调性保留类型。还有一些方法存在一定的局限性，比如将给定的散点数据转换为矩形网格，会导致一些矩形在一个或两个方向上非常小。

本文主要关注使用局部边 - 顶点方法来构造插值曲面，以保留给定方向上散点数据的单调性，该方法适用于有导数和无导数的数据。采用有理三次函数进行边界和边 - 顶点插值，每个三角形面片有十二个自由参数，并推导出了关于这些自由参数的简单充分的数据相关约束，以保留单调散点数据的形状。

2. C1边 - 顶点三角形插值方法

对于非退化三角形T，其顶点为{Vi = (xi, yi), i = 1, 2, 3}，重心坐标为u、v和w，三角形上的任意点V = (x, y)可以表示为：
[V = uV_1 + vV_2 +