16、主成分分析（PCA）全面解析与实践

主成分分析（PCA）全面解析与实践

1. 主成分分析基础概念

主成分分析（PCA）是一种用于处理多元数据的重要技术，其核心目标是从数据矩阵 $X \in R^{N\times p}$（其中 $p \leq N$）中获取 $p$ 个向量 $\varphi_1, \varphi_2, \cdots, \varphi_p$。这些向量需满足特定条件：
- $\varphi_1 \in R^N$ 且 $|\varphi_1| = 1$，同时最大化 $|X\varphi_1|$。
- $\varphi_2 \in R^N$ 且 $|\varphi_2| = 1$，与 $\varphi_1$ 正交并最大化 $|X\varphi_2|$。
- 以此类推，$\varphi_p \in R^N$ 且 $|\varphi_p| = 1$，与 $\varphi_1, \cdots, \varphi_{p - 1}$ 正交并最大化 $|X\varphi_p|$。

在进行 PCA 之前，通常会对矩阵 $X$ 进行中心化处理，即从每列元素 $x_{i,j}$（$i = 1, \cdots, N$，$j = 1, \cdots, p$）中减去该列的算术平均值 $x_j$。

PCA 的主要目的是将矩阵 $X$ 概括为 $\varphi_1, \cdots, \varphi_m$（$1 \leq m \leq p$），$m$ 值越小，$X$ 中的信息压缩程度越高。存在 $\mu_1$ 使得 $X^T X\varphi_1 = \mu_1\varphi_1$。实际上，$\varphi_1$ 最大化 $|X\varphi_1|$，通过对 $L := |X\varphi_1|^2 - \ga