正交的概念

最新推荐文章于 2025-09-25 09:10:58 发布
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文本框:  　　“正交性”是从几何学中借来的术语。如果两条直线相交成直角，它们就是正交的，比如图中的坐标轴。用向量术语说，这两条直线互不依赖。沿着某一条直线移动，你投影到另一条直线上的位置不变。

　　在计算技术中，该术语用于表示某种不相依赖性或是解耦性。如果两个或更多事物中的一个发生变化，不会影响其他事物，这些事物就是正交的。在设计良好的系统中，数据库代码与用户界面是正交的：你可以改动界面，而不影响数据库；更换数据库，而不用改动界面。

【通信原理】通信原理中与正交(相关)有关的概念或知识点梳理
业精于勤，荒于嬉
01-11 737
首先，从相关的角度来看，对于两个随机过程ξ(t)和η(t)，其相关性可以由协方差函数Bξη​(t1​,t2​)或相关函数Rξη​(t1​,t2​)来衡量。假设其中有一个随机过程的期望为零，那么正交则是互协方差函数为零，相关函数为零，即二者不相关。
正交矩阵
weixin_33675507的博客
11-30 3259
正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。 定义 　　定义 1 　　如果：AA'=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。）或A′A=E，则n阶实矩阵 A称为正交矩阵， 若A为正交阵，则满足以下条件: 　　...
正交
shijin1996的博客
05-03 3191
正交指相互独立，不可替代，并且组合起来可实现其它功能。 正交英文是 orthogonal，本意是垂直，几何概念。线性代数中，两向量正交指它们内积为 0。而函数正交，是指两个函数相乘的积分为 0。 ...
正交矩阵（Orthogonal Matrix）
最新发布
m0_63512689的博客
09-25 2106
设QQQ是一个n×nn \times nn×n的实矩阵（元素全部取自实数域R\mathbb{R}R），若其满足以下条件，则称QQQQTQQQTInQTQQQTIn​QTQ^TQT表示QQQ的转置矩阵（将矩阵的行与列互换得到，即QTijQjiQTij​Qji​InI_nIn​是nnn阶单位矩阵（主对角线元素为1，其余元素为0）。
正交性
qq_42347617的博客
06-18 9964
空间 空间是一个集合 欧几里得空间：有序实数元组的集合（x, y …） 二维：R2 （R：实数集，2：每个元组包含两个元素） （点集、起点为原点的向量集合） -> 向量空间：空间中的元素都是向量 理论： 对于向量：必须定义两种运算 （加法 、 数量乘法） 这两种运算必须满足十条性质： 封闭性: u + v, k · u (加法和乘法) 都封闭（closure） 加法：交换律，结合律 零律：存在零元O属于向量空间，使得: u + O = u 对每个u存在-u使得u + (-u) =
09. 正交概念
愿いが叶う场所
03-08 989
向量正交正交意味着垂直，设向量x与向量y正交 根据勾股定理，有如下推导 ||x||2+||y||2xTx+yTyxTx+yTyxTy=||x+y||2=(x+y)T(x+y)=xTx+yTy+2xTy=0\begin{align} ||x||^2 + ||y||^2 &= ||x+y||^2 \\ x^Tx+y^Ty &=(x+y)^T(x+y) \\ x^Tx+y^Ty &= x^Tx + y
orth_norm.rar_orthonormal matrix_向量正交_正交化_矩阵正交化_规范化矩阵
07-15
总的来说，这个压缩包提供了一种实现向量正交化和矩阵正交化的方法，这对理解和应用线性代数中的正交概念非常有帮助。学习和理解这一过程不仅能够提升编程技能，还能够深化对线性空间和矩阵理论的理解。
GS.rar_GS正交化方法_gs正交化_施密特正交化
07-15
正交化是线性代数中的一个重要概念，特别是在处理高维数据时，它能有效地简化问题，提高计算效率。GS（Gram-Schmidt）正交化，又称为施密特正交化，是一种将一组线性无关的向量转化为一组标准正交基的过程。在"GS....
常用正交表（测试用例正交对照表）.zip
04-28
1. 正交表的基本概念：正交表是由一定数量的行（代表实验的水平或条件）和列（代表因子或变量）组成的表格，每一行和每一列的组合都是唯一的，且所有可能的组合都被均匀地分布在不同的行和列上。这种结构确保了各...
正交概念
weixin_30593443的博客
08-05 2934
编程中，经常出现正交这个词。正交指相互独立，不可替代，并且组合起来可实现其它功能。 为什么相互独立，会使用正交这个词呢？ 正交，最开始是数学术语，被引到计算机领域。正交英文是 orthogonal，本意是垂直，几何概念。线性代数中，两向量正交指它们内积为 0。而函数正交，是指两个函数相乘的积分为 0。 但就算知道这些，还是不明白正交是什么，数学上的正交概念跟编程上的正交概念有什么...
由《从软件的“胚”谈到模型的参照系》一文，看到的名词“正交“的解释
weixin_30877493的博客
11-30 213
什么是正交性？ “正交性”是从几何中借来的术语。如果两条直线相交成直角，他们就是正交的。用向量术语来说，这两条直线互不依赖。沿着某一条直线移动，该直线投影到另一条直线上的位置不变。 在计算技术中，该术语用于表示某种不相依赖性或者解耦性。如果两个或者更多事物种的一个发生变化，不会影响其他事物。这些事物就是正交的。在设计良好的系统中，数据库代码与用户界面是正交的：你可以改变界面，而不影响数...
测试计划和测试用例的方法
weixin_45173721的博客
11-23 1767
测试用例 执行测试的依据，把测试系统的操作步骤用文档的形式描述出来 测试用例组成元素 用例编号 所属模块 所属等价类 前置条件 优先级 测试描述 操作步骤 输入数据 预期结果 测试结果 测试环境 测试人员 备注 测试用例示例： 编写测试用例的基本方法 等价类划分法 有效等价类 无效等价类（有效 无效） 等价类 ：某个输入域的集合，在这个集合中每个输入条件都是等效的。 等价类划分：分步骤地把海量（无限）的测试用例集减得很小，但过程同样有效。 多用于输入框 示例： 划分等价类并编号,下表为等价类
正交性Orthogonality
weixin_43420126的博客
07-24 440
正交性是指两个元素在特定内积下夹角为90度（内积为零）。在函数空间中，表现为给定区间和权函数下的积分乘积为零。三角函数系在[-π,π]区间关于权函数1的正交性，使其成为傅里叶级数的理想基函数。这一性质是傅里叶分析的重要基础。
线性代数（六）正交性
qq_37534947的博客
11-15 1万+
文章目录一：内积、长度、正交性1.1内积1.2长度1.3正交向量1.4总结二：正交集2.1定义2.2定理--正交基2.3正交投影2.4单位正交集三：正交矩阵3.1单位正交列向量3.2性质3.3正交矩阵初入门四：拉格姆-施密特方法4.1定义4.2步骤4.3例子4.4QR分解 一：内积、长度、正交性 1.1内积 1.定义： 2.定理： 注：从上面的性质可以简单总结出其是符合“对加法、对乘法封闭的”。 1.2长度 1.定义： 2.单位向量 3.n维空间的距离 1.3正交向量 注：补充定理
三角函数正交性
热门推荐
weixin_43763292的博客
08-16 1万+
三角函数的正交性可以表示为在一个周期内，不同频率的正弦和余弦函数的乘积的积分等于零。这些性质在傅里叶分析和信号处理中非常重要，它们使我们能够将复杂的周期信号分解为不同频率的正弦和余弦分量。这意味着，如果您取其中任意两个不同的函数并计算它们在一个完整周期上的乘积的积分，结果将为零。这些性质在傅里叶分析和信号处理中也同样重要，它们也使我们能够将复杂的周期信号分解为不同频率的余弦分量。当两个函数的频率不同时，一个周期内的乘积的积分等于零。包括了无穷多的正弦和余弦函数，它们的频率从 0 开始递增。
标准正交基是啥概念
06-17
<think>我们正在处理关于标准正交基的数学概念查询。需要先理解用户意图：用户希望了解标准正交基的定义及其数学概念。我们将进行网络搜索，获取相关信息，然后按照要求组织答案。步骤：1.调用网络搜索工具，检索关键词如“标准正交基定义”、“标准正交基数学概念”等。2.整合检索到的信息，形成清晰、详细的回答，避免使用第一人称和步骤性词汇。3.组织答案时，将内容分为多个部分（如定义、性质等），每个部分之间换行。4.确保数学公式使用正确的格式：行内公式用$...$，独立公式用$$...$$。5.在回答的最后，严格按照格式要求添加相关问题部分。根据搜索，标准正交基（orthonormalbasis）是线性代数中的一个重要概念。它是指一组向量，这些向量两两正交（内积为零），且每个向量的范数（长度）均为1。这样的基在向量空间中具有很多优良性质。回答结构：第一部分：定义第二部分：数学概念（包括性质、重要性等）注意：禁止将引用内容堆在末尾，而是自然地融入回答中。搜索后，我们得到以下信息：定义：在向量空间中，一组基称为标准正交基，如果这组基中的向量两两正交，并且每个向量的范数都是1。即，对于基向量组$\{e_1,e_2,\dots,e_n\}$，满足：-正交性：当$i\neqj$时，$\langlee_i,e_j\rangle=0$-规范性：对每个$i$，$\langlee_i,e_i\rangle=1$（即$\|e_i\|=1$）数学概念：-标准正交基使得向量的坐标表示和内积计算变得简单。例如，任意向量$v$在标准正交基下的坐标可以通过内积求得：$v=\sum_{i=1}^n\langlev,e_i\ranglee_i$。-在标准正交基下，向量的内积等于其坐标的对应分量乘积之和：$\langleu,v\rangle=\sum_{i=1}^nu_iv_i$，其中$u_i$和$v_i$分别是$u$和$v$在基下的坐标。-标准正交基在傅里叶级数、量子力学等领域有广泛应用。此外，标准正交基可以通过Gram-Schmidt正交化过程从一组线性无关的向量构造出来。我们将按照要求组织答案，避免使用步骤性词汇，使用换行分隔不同部分。最后，生成相关问题部分。相关问题应基于原始问题，例如：1.如何构造标准正交基？2.标准正交基与正交基有什么区别？3.标准正交基在矩阵对角化中有什么应用？注意：回答中如果出现公式，严格按照格式要求。开始生成答案：</think>### 标准正交基的定义与数学概念 **定义** 在有限维内积空间（如 $\mathbb{R}^n$）中，一组基 $\{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n \}$ 称为**标准正交基**，若同时满足以下条件： 1. **正交性**：任意两个不同向量内积为零 $$ \langle \mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j \rangle = 0 \quad (i \neq j) $$ 2. **单位长度**：每个向量的范数为 1 $$ \langle \mathbf{e}_i, \mathbf{e}_i \rangle = \|\mathbf{e}_i\|^2 = 1 \quad (\forall i) $$ **核心性质** - **坐标计算简化**：向量 $\mathbf{v}$ 在标准正交基下的坐标 $c_k$ 可直接通过内积获取 $$ c_k = \langle \mathbf{v}, \mathbf{e}_k \rangle $$ - **内积与范数公式**：对任意向量 $\mathbf{u} = \sum u_i \mathbf{e}_i$，$\mathbf{v} = \sum v_j \mathbf{e}_j$ $$ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \sum_{i=1}^n u_i v_i, \quad \|\mathbf{u}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n u_i^2} $$ - **正交矩阵性质**：以标准正交基为列构成的矩阵 $Q$ 满足 $Q^T Q = I$，即 $Q^{-1} = Q^T$ **构造方法** Gram-Schmidt 正交化可将线性无关组转化为标准正交基： ```python # Python 示例：Gram-Schmidt 过程 import numpy as np def gram_schmidt(vectors): basis = [] for v in vectors: w = v - sum(np.dot(v, b) * b for b in basis) if np.linalg.norm(w) > 1e-10: # 避免零向量 basis.append(w / np.linalg.norm(w)) return np.array(basis) # 示例输入 vectors = np.array([[1, 0, 1], [1, 1, 0], [0, 1, 1]], dtype=float) orthonormal_basis = gram_schmidt(vectors) print("标准正交基：\n", orthonormal_basis) ``` **应用场景** - 简化线性方程求解（如 QR 分解） - 傅里叶级数展开（三角函数系是函数空间的标准正交基） - 量子力学中的态矢量表示（如 Pauli 矩阵基） **与非标准基的区别** 正交基仅要求向量两两正交，但范数不一定为 1；标准正交基额外要求单位长度。例如在 $\mathbb{R}^2$ 中： - 正交基：$\{(2,0), (0,3)\}$ - 标准正交基：$\{(1,0), (0,1)\}$ 或 $\left\{ \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right), \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right\}$
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