南京理工大学校赛 D triple (容斥） 3个数互质的方案数

最新推荐文章于 2024-01-06 18:55:49 发布

lov_vol

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分类专栏：组合数学

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本文探讨了如何在给定整数n的情况下，计算从1到n中选择三个不同数字使得它们的最大公约数等于m的方案数量。通过简化问题到考虑数字的倍数，利用组合数学的方法来解决此问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

triple

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Description

给出一个整数n，表示1，2，...，n。从这n个数中任意选择3个不同的数字x，y，z，问x，y，z的最大公约数等于m的方案有多少种？（注意：(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)属于同一种方案）

Input

第一行输入一个整数T（1 <= T <= 100），表示有T组数据，接下来T行，每行2个整数n, m（1 <= m <= n <= 10^5）

Output

输出一个整数表示答案

Sample Input

1
5 1

Sample Output

题目和提交链接：点击打开链接

思路：求gcd(x,y,z)==m的方案数，那么x,y,z肯定是m的倍数，所有只考虑倍数就可以了。倍数的个数d=n/m，其实就可以转化为求1~d中三个不同的数的gcd==1 的情况。那么方案数 = 总情况数（C(d,3) ) - gcd=(2,3,4......d)的情况数。dp[a]表示gcd==a的情况，1~d中a的倍数有b=（d/a)个，dp[a]=C(b,3) - dp[ 2a,3a,4a...] 。

详细见代码：

//复杂度接近于O（n)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef unsigned long long LLu;
typedef long long LL;
const int maxn=1e5+100;
LL dp[maxn];
int A[maxn];
int main()
{
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		int n,m;
		int i;
		memset(dp,0,sizeof dp);
		scanf("%d%d",&n,&m);
		n=n/m;
		LL ans=(LL)n*(n-1)*(n-2)/6;
		for(i=n;i>=2;i--)//一开始循环方向写反了浪费了一对堆时间
		{
			int a=n/i;
			dp[i]+=(LL)a*(a-1)*(a-2)/6;
			int b=i;
			b+=i;
			while(b<=n)
			{
				dp[i]-=dp[b];
				b+=i;
			}
		}
		for(i=2;i<=n;i++)
		{
			ans-=dp[i];
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}