并查集的详细解释与应用场景

并查集原理

概念

在一些应用问题中，需要将n个不同的元素划分成一些不相交的集合。开始时，每个元素自成一个单元素集合，然后按一定的规律将归于同一组元素的集合合并。在此过程中要反复用到查询某一个元素归属于那个集合的运算。适合于描述这类问题的抽象数据类型称为并查集(union-findset)。

示例

比如大学刚开学，一个班有10个新同学，起初他们互相不认识。
假设10个同学编号1-10。

用数组的编号代表这些同学，同时数组内初始全为-1（置为-1的原理后边解释）。

然后经过一些时间，他们三四成堆，有了自己的小圈子。
假设{0，6，7，8}，{1，4，9}，{2，3，5}；这些同学形成了自己的圈子，下边我们把圈子看作一个小队，同时假设三个圈子0,1,2担任队长。

这每一个树，就算是一个朋友圈（小队）。

从上图可以看出：编号6,7,8同学属于0号小分队，该小分队中有4人(包含队长0)；编号为4和9的同学属于1号小分队，该小分队有3人(包含队长1)，编号为3和5的同学属于2号小分队，该小分队有3个人(包含队长1)。

同时我们得到以下结论:

1. 数组的下标对应集合中元素的编号
2. 数组中如果为负数，负号代表根，数字代表该集合中元素个数
3. 数组中如果为非负数，代表该元素双亲在数组中的下标

然后又经过一段时间，0号小分队中8号同学与1号小分队1号同学奇走到了一起，两个小圈子的学生又相互介绍，最后成为了一个大的小圈子。如下图:

经过如此变化，数组内容变成了如下:

并查集实现

class UnionFindSet
{
public:

// 初始时，将数组中元素全部设置为1
UnionFindSet(size_t size)
: _ufs(size, -1)
{}

// 给一个元素的编号，找到该元素所在集合的名称
int FindRoot(int index)
{
// 如果数组中存储的是负数，找到，否则一直继续
while(_ufs[index] >= 0)
{
index = _ufs[index];
}
return index;
}

//将x2合并到x1集合下
bool Union(int x1, int x2)
{
int root1 = FindRoot(x1);
int root2 = FindRoot(x2);
// x1已经与x2在同一个集合
if(root1 == root2)
return false;
// 将两个集合中元素合并
_ufs[root1] += _ufs[root2];
// 将其中一个集合名称改变成另外一个
_ufs[root2] = root1;
return true;
}

// 数组中负数的个数，即为集合的个数
size_t Count()const
{
size_t count = 0;
for(auto e : _ufs)
{
if(e < 0)
++count;
}
return count;
}

private:
vector<int> _ufs;
}; 

并查集应用

通过以上介绍，总结并查集一般可以解决一下问题 :

1. 查找元素属于哪个集合
   沿着数组表示树形关系以上一直找到根(即：树中中元素为负数的位置)
2. 查看两个元素是否属于同一个集合
   沿着数组表示的树形关系往上一直找到树的根，如果根相同表明在同一个集合，否则不在
3. 将两个集合归并成一个集合
   (1)将两个集合中的元素合并
   (2)将一个集合名称改成另一个集合的名称
4. 集合的个数
   遍历数组，数组中元素为负数的个数即为集合的个数。