波束和BSS问题中的gevd

- 波束部分

1. MaxSNR Beamforming
根据MaxSNR Beamforming的公式有:$w=arg\_max\frac{w^h{R}_{s}w}{w^h{R}_{n}w}$,其中$w$即为滤波器系数。如上的无约束最大值问题对于$w_{snr}=k\ast w_{snr}$仍然是成立的，也就是有一个尺度上的无约束。可设定$w^h{R}_{n}w$=1；则转化为:$arg\_max\frac{w^h{R}_{s}w}{1}$且$w^h{R}_{n}w=1$。如上问题为一个有约束的优化问题，可通过拉格朗日乘子约束转化为无约束问题:
$$f(w)=w^h{R}_{s}w+\lambda (w^h{R}_{n}w-1)$$
通令求$f(w)$的微分=0即可转化为GEVD问题:$R_{s}w=\lambda R_{n}w$。
设${\lambda }_1$,${\lambda }_2$,$w_1$,$w_2$为($R_s$,$R_n$)的广义特征值和对应的特征向量，${\lambda }_1$>${\lambda }_2$。其中$w_1$即为上述问题的解。而$w_2$为$minf(w)$问题的解。
如果$R_s$是秩1矩阵，即$R_s=a{a}^H$。则$a{a}^H{w}_1=\gamma a=\lambda R_n{w}_1$,进而有$a=\beta R_n{w}_1$。a即为源s的RTF或者理解为导向向量（此处省去了常数因子）。

对于R_s,R_n均为正定的Hermitian矩阵来说，具有如下性质:$w_1{R}_s{w}_2=w_1{R}_n{w}_2=0$。注意这也是aux-iva中常用的正交迭代约束。

根据如上性质，推导出$a^H{w}_2=0$,$a$理解为导向向量或者delay_sum的滤波器系数，其正交的$w_2$理解为$a$构造出来的BM系数。
2. gev beamforming和MVDR的关系
$$w_{mvdr}=\frac{R_n^{-1}a}{a^H{R}_n^{-1}a}=\frac{\gamma w_{maxsnr}}{\beta w^H{R}_{n}w}=\alpha w_{maxsnr}$$MVDR只是gev 波束中通过约束$a=a/(a_1)$限制$a$的大小，解决scaling问题一种方式，二者的滤波器系数方向都是一样的。
3. scale问题
一般在说scale问题的时候大家会想到的是ica类的盲源方法，但gev波束同样也存在。在1.中已经对其产生的原因进行了解释。论文中一般会有这样的一种方式来解决：$g_{ban}=\frac{sqrt(w^H{R}_n^H{R}_{n}w/N)}{w^H{R}_{n}w}$,看上去和MVDR很像。笔者猜测就是$w_{mvdr}=g_{ban}\ast w_{gev}$(细节推导这里就不体现了),但该公式的物理意义是什么？
$g_{ban}=\frac{\sqrt{(w^H{R}_n^H{R}_{n}w/N)}}{w^H{R}_{n}w}=\frac{\lambda \sqrt{(w^H{R}_s^H{R}_{s}w)/N}}{\lambda w^H{R}_{s}w}=\frac{\sqrt{(w^H{R}_s^H{R}_{s}w)/N}}{w^H{R}_{s}w}$
$(g_{ban}\ast (w^H(R_n+R_s)w){)}^2=w^H(R_s^H{R}_s+R_n^H{R}_n)w/N$
因为声源$s$和噪声$n$并不相关，则
$w^H(R_s^H{R}_s+R_n^H{R}_n)w/N=w^H(R_s+R_n{)}^H(R_s+R_n)w=w^H{R}_x^H{R}_{x}w$
如上有：
$g_{ban}=\frac{\sqrt{(w^H{R}_x^H{R}_{x}w/N)}}{w^H{R}_{x}w}$
$w^H{R}_{x}w$解释为波束后的能量，$\sqrt{(w^H{R}_x^H{R}_{x}w/N)}$为波束后的输出和mic信号相关取模。类似于公式$\frac{E(xy)}{E(yy)}$。通过这种方式可以使得波束后输出信号scale和mic端的信号一个尺度。该方法和ica中只提取一路信号后用Minimal Distortion Principle准则解决scale问题是一致的。
4. 波束的痛点
如上的推导虽然完整，但$R_n$和$R_s$在没有外界信息的情况下是不可获得的。一般基于mask的方式对$R_n$和$R_s$进行估计。$R_s=E(mas{k}_s\ast X{X}^H)$ $R_n=E(mas{k}_n\ast X{X}^H)$mask表征什么样的物理意义，我们这里暂且认为$mas{k}_{tf}^s=|s_{tf}|/|x_{tf}|$（这里只讨论幅度谱的mask)。遗憾的是mask也难以得到。当然我们也可以通道doa_mask或者nn_mask的形式获得。波束问题通过mask控制$R_n$和$R_s$的更新过程，而自适应对消则通过mask控制步长。下面我们讨论下盲分离是如何看待这一问题的。

- 盲分离部分

1. 基础回顾
讨论波束时我们强调$R_n$和$R_s$的估计需要引入外界信息，但在bss框架下则通过引入源模型(source model)这一概念来实现对$R_n$和$R_s$的估计，可以理解盲分离是一种全盲波束，它通过对信号幅度谱进行假设建模实现混合数据的分离，而波束是假设数据为高斯分布的半盲分离/提取。
盲分离的一种objective function为:
$J(W)={\sum }_{k=1}^{K}E[G({\mathbf{y}}_k)]-{\sum }_{w=1}^{N_w}log|detW(w)|$,其中$G({\mathbf{y}}_k)=-logp({\mathbf{y}}_{\mathbf{k}})$。
应用辅助函数（这部分大家还是去看论文吧），则有：$J(w)<=E[G^{{}^{\prime }}(r_w)/r_w\ast {\sum }_{w=1}^{N_w}|y_k(w){|}^2]+R_k$。
$J(w)<={\sum }_{w=1}^{N_w}{w}^h{V}_k(w)w+R_k,V(k)=E[G(y)/r\ast x(w)x(w{)}^h]$

• ica:$p(y)=\alpha e^{-(y{)}^2/2}$,时不变高斯模型,$G(y{)}^{{}^{\prime }}/y=1$

• ica:$p(y)=\alpha e^{-|y|/2}$,laplace模型,$G(y{)}^{{}^{\prime }}/y=1/|y|$

• ica:$p(y_{tf})=\alpha e^{-(y_{tf}{)}^2/r_{tf}}$,时变高斯模型,$G(y{)}^{{}^{\prime }}/y=1/r_{tf}$
  如上看到，如果假设源信号为时不变高斯分布，则$E[G^{{}^{\prime }}(r_w)/r_w|x_k(w){|}^2]=E|x_k(w{)}^2|$,这也是波束中协方差阵的形式。 平时我们说bss问题是最大化非高斯准则，如果源信号是高斯信号则是不可分的(其对应为$J(w)$函数很难优化，$w$找不到一个优化方向)。这句话成立的前提是我们并不知道哪段是语音，哪段是干扰，需要用全盲的方法去做，而对于半盲的方法类似波束，则可以提取出期望信号。这里再多提一句,时变高斯模型组成的协方差阵在WPE中使用。回顾到波束部分的协方差阵估计，在已知mask的情况下，假设源数据为时变高斯信号，则加权协方差阵的形式为:$R_n=E(1/r_{tf}\ast X{X}^H)=E(X{X}^H/(mas{k}^2\ast ||X|{|}^2))$。
  2. 优化迭代
  对$J(w)$进行微分=0操作则有：$w_l^H{V}_l{w}_k={\delta }_{lk}$即典型的Hybrid Exact-Approximate Joint Diagonalization [HEAD] problem。如果$V_l$按照时不变高斯分布组成的协方差阵形式，该问题很难优化，而在其他数据分布下可通过ip,ip2,iss,iss2等方法进行迭代求解，具体可参考文献。
  两个源两个mic的情况下(对于多源问题同样可以转化为GEVD问题来求解，这里不进行推导)满足：
  $w_1^H{V}_1{w}_1=1w_1^H{V}_1{w}_2=0$
  $w_2^H{V}_2{w}_1=0w_2^H{V}_2{w}_2=1$
  由上可得：
  $w_1{V}_1=\lambda w_1{V}_2$,也就是和maxSnr波束类似的GEVD问题的解析解形式。选择最大特征值对应的特征向量则可表征为:$f(w)=max\frac{w^H{V}_{1}w}{w^H{V}_{2}w}$,$V_1$对应的矩阵为语音阵,$V_2$对应的矩阵为噪声阵。根据如式依次迭代最终便分离出两个源信号。由于初始化的问题，在整个全盲求解过程中最终分离的结果顺序未知。
  3. scale问题和source image
  根据波束篇已经讨论了一种scaling问题的求解方式且适用于盲分离，这里讨论另外一种形式。已知分离矩阵$W$(存在scale问题）,则$AW=1$约束下可以得$A=W^{-1}$。A表征源S到mic的传递函数。对于$A.\ast WX=[y_{11}{y}_{12};y_{21}{y}_{22}]$反应的是[$S_1{S}_2$]到[$mi{c}_{1}mi{c}_2$]的接收信号，即source image，至此scale问题解决。其中$A=[a_{11}{a}_{12};a_{21}{a}_{22}]$。$a_{11}+a_{12}$反应的是对$S1$进行delay_sum为90度的波束。$a_{11}-a_{12}$反应的是对$S1$进行差分的波束。即在盲源问题中可以分别求得源S到mic端的接收信号，对于波束问题同样也可以得到source image，只是beamforming 很少进行这样的讨论。在有些论文中我们看到对source image后再进行固定波束delay_sum的处理，是一种基于已知数据方向后的加权修正方式。
  4. BSS框架下的扩展讨论
  通过控制$r_{tf}$即控制了输出结果，和波束问题一样但加权的系数不同。论文通过导向向量$[e^{iw{\tau }_1}{e}^{iw{\tau }_2}...]$加权到协方差阵的方式个人认为并不合适，由于导向向量的形式并不能真实反映RTF，加入的不准确先验会影响真实数据构成协方差阵的结果，还不如通过先验$r_{tf}$来的直接，比如基于doa信息计算doa_mask来估计$r_{tf}$(大概估计结果就行，不需要完全准确)，bss模型计算出来的$r_{tf}$和先验$r_{tf}$加权等。对于ive,ilrma,mnmf,和bss和网络的结合这里不进行讨论。

• Minimal Distortion Principle for Blind Source Separation