线性代数 02.01 矩阵

$\color{blue}{第二章 矩阵及其运算}$

$\color{blue}{\S 第二章 第一节 矩阵}$

$\color{blue}{一、矩阵的概念}$

$定义1.由m \times n个数a_{ij}(i = 1, 2, \cdots, m; j = 1, 2, \cdots, n)排成m行n列的数表\\ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{matrix} 称为m行n列的矩阵,简称m \times n矩阵.$
$为了表示它是一个整体,在这个数表的两边用\\ 大圆括弧把它范围起来,并用大写黑体字幕表示:\\ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}$

$例1.某厂向三个商店发送四种产品，其发送的数量\\ 和单价及单件的重量都可用矩阵来刻划.\\ \quad 若用a_{ij}表示为工厂向第i店发送第j种产品数量,\\ 则矩阵\\ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ \end{pmatrix}$
$若用b_{i1}表示第i中产品的单价,\\ 用b_{i2}表示第i中产品单件的重量，\\ 则矩阵:\\ B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \\ b_{41} & b_{42} \\ \end{pmatrix} \\ 表示了这四种产品的单价及单件重量.$

$例2.四个城市间的单向航线如下图所示:$
$① \ \leftrightarrow \ ②$
$\updownarrow \ \searrow \ \downarrow$
$③ \ \leftarrow \ ④$
$若令a_{ij} = \left \{ \begin{array}{l} 1 从i市到j市有一条单向航线 \\ 0 从i市到j市没有单向航线 \end{array} \right.$
$则图中的航线用矩阵表示为$
$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

$例3.n个变量x_1, x_2, \cdots, x_n与m个变量\\ y_1, y_2, \cdots, y_m之间的关系$
$\left \{ \begin{array}{l} y_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \\ y_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \\ \qquad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\ y_m = a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \end{array} \right.$
$表示了一个从变量x_1, x_2, \cdots, x_n到变量\\ y_1, y_2, \cdots, y_m的线性变换,其中a_{ij}为常\\ 数,这个线性变换的系数a_{ij}构成矩阵$
$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}$

$\color{blue}{二、矩阵的表示方法}$

$1.可以用一个大写字母表示: A, B, C, D, E等$
$2.用大写字母加上下角标表示:A_{m \times n}, B_{s \times t}$
$3.A= (a_{ij})或 A = (a_{ij})_{m \times n}表示$

$\color{blue}{三、几种特殊的矩阵}$

1.方阵
$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}$

2.上三角矩阵(必须是方阵)
$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}$
$A = (a_{ij})_{n \times n} \quad (a_{ij} = 0, \quad i > j)$
$B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & 0 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix}$

3.下三角矩阵(必须是方阵)
$A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 0 & \cdots& 0 & b_{1n} \\ 0 & \cdots & b_{2(n-1)} & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \\ \end{pmatrix}$

4.对角矩阵
$\Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \\ \end{pmatrix}$

5.单位矩阵
$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix}$

6.行矩阵(行向量)
$A = (a_{11} , a_{12}, \cdots, a_{1n})$

7.列矩阵(列向量)
$B = \begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ \vdots \\ b_{m1} \\ \end{pmatrix}$

8.零矩阵(可以不是方阵)
$O = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix}$

9.负矩阵
$设a = (a_{ij}){m \times n},称-A = (-a{ij})_{m \times n}\\
为矩阵A的负矩阵$

10.同型矩阵
两个矩阵的行数和列数分别相同的矩阵称为同型矩阵。
$如A_{m \times n}和B_{m \times n}为同型矩阵.$

11.对称矩阵
$设A = (a_{ij})_{m \times n},且a_{ij} = a_{ji},则称A为对称矩阵.$

12.反对称矩阵
$设A = (a_{ij})_{m \times n},且a_{ij} = -a_{ji},则称A为反对称矩阵.$