高数 07.01 多元函数的基本概念

$第七章多元函数微分学与二重积分$

1.多元函数微分学是一元函数微分学的推广
注意：善于类比，区别异同
2.二重积分的性质与计算

$\text{§第七章第一节 多元函数的基本概念}$

一、了解区域的概念
二、了解多元函数的概念
三、了解多元函数的极限和连续性的概念

$一、区域$

$1.邻域$

点集U(P0,δ)={P∣∣PP0∣&lt;δ},称为点P0的δ邻域.点集U(P_0, \delta) = \lbrace P | |PP_0| &lt; \delta \rbrace,称为点P_0的\delta {\color{blue}{邻域}}.点集U(P0​,δ)={P∣∣PP0​∣<δ},称为点P0​的δ邻域.
例如,在平面上,U(P0,δ)={(x,y)∣(x−x0)2+(y−y0)2&lt;δ}(圆邻域)例如,在平面上,\\\\ U(P_0, \delta) = \lbrace (x, y) | \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} &lt; \delta \rbrace (圆邻域)例如,在平面上,U(P0​,δ)={(x,y)∣(x−x0​)2+(y−y0​)2​<δ}(圆邻域)
在空间中,U(P0,δ)={(x,y,z)∣(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2&lt;δ}(球邻域)在空间中,\\\\ U(P_0, \delta) = \lbrace (x, y, z) | \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2} &lt; \delta \rbrace \\\\ (球邻域)在空间中,U(P0​,δ)={(x,y,z)∣(x−x0​)2+(y−y0​)2+(z−z0​)2​<δ}(球邻域)
$说明：若不需要强调邻域半径\delta ,也可以写成U(P_0).$
点P0的去心邻域记为U˚(P0)={P∣0&lt;∣PP0∣&lt;δ}点P_0的去心邻域记为 \mathring{U}(P_0) = \lbrace P | 0 &lt; |PP_0| &lt; \delta \rbrace点P0​的去心邻域记为U˚(P0​)={P∣0<∣PP0​∣<δ}
$在讨论实际问题中也常使用方邻域,方邻域与圆邻域可以相互包含.$
平面上的方邻域为U(P0,δ)={(x,y)∣∣x−x0∣&lt;δ,∣y−y0∣&lt;δ}平面上的方邻域为\\\\ U(P_0, \delta) = \lbrace (x, y) | |x -x_0| &lt; \delta, |y - y_0| &lt; \delta \rbrace平面上的方邻域为U(P0​,δ)={(x,y)∣∣x−x0​∣<δ,∣y−y0​∣<δ}

$2.区域$

(1) 内点、外点、边界点
$设有点集E及一点P:$
$若存在点P的某个邻域U(P)\subset E,则称P为E的内点;$
$若存在点P的某个邻域U(P)\cap E=\varnothing ,则称P为E的外点;$
$$\begin{gathered} 若点P的任一邻域U(P)内既含E的内点也含E的外点, \\ 则称P为E的边界点. \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 显然,E的内点必属于E;E的外点必不属于E; \\ E的边界点可能属于E,也可能不属于E. \end{gathered}$$
(2)聚点
$$\begin{gathered} 若对任意给定的\delta ,点P的去心邻域\mathring{U}(P,\delta ) \\ 内总有E中的点,则称P是E的聚点. \end{gathered}$$
$聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为E的边界点)$
$所有聚点所构成的点集称为E的导集$
(3)开区域及闭区域
$若点集E的点都是内点,则称E为开集;$
$E的边界点的全体称为E的边界,记作\partial E(\partial 读作rounded);$
$若点集E\supset \partial E,则称E为闭集;$
$$\begin{gathered} 若集合D中任意两点都可以用一完全属于D的折线相连, \\ 则称D是连通的; \end{gathered}$$
$连通的开集成为开区域,简称区域;$
$开区域连同它的边界一起称为闭区域.$
$例如,在平面上$
{(x,y)∣x+y&gt;0}{(x,y)∣1&lt;x2+y2&lt;4}}开区域\left. \begin{array}{l}\lbrace (x, y) | x + y &gt; 0 \rbrace \\ \lbrace (x, y) | 1 &lt; x^2 + y^2 &lt; 4 \rbrace \end{array} \right \} 开区域{(x,y)∣x+y>0}{(x,y)∣1<x2+y2<4}​}开区域

{(x,y)∣x+y≥0}{(x,y)∣1≤x2+y2≤4}}闭区域\left. \begin{array}{l}\lbrace (x, y) | x + y \geq 0 \rbrace \\ \lbrace (x, y) | 1 \leq x^2 + y^2 \leq 4 \rbrace \end{array} \right \} 闭区域{(x,y)∣x+y≥0}{(x,y)∣1≤x2+y2≤4}​}闭区域

$整个平面式最大的开区域，也是最大的闭区域;$
点集{(x,y)∣∣x∣&gt;1}是开集,但非区域.点集\lbrace (x, y) | |x| &gt; 1 \rbrace 是开集,但非区域.点集{(x,y)∣∣x∣>1}是开集,但非区域.
$$\begin{gathered} 对于区域D,若存在正数K,使一切点P\in D与某定点A的 \\ 距离|AP|\le K,则称D为有界域,否则称为无界域. \end{gathered}$$

$3.n维空间$

n元有序数组(x1,x2,⋯&ThinSpace;,xn)的全体称为n维空间,记作Rn,即Rn=R×R×⋯R={(x1,x2,⋯&ThinSpace;,xn)∣xk∈R,k=1,2,⋯&ThinSpace;,n}n维空间中的每一个元素(x1,x2,⋯&ThinSpace;,xn)称为空间中的一个点，数xk称为改点的第k个坐标.n元有序数组(x_1, x_2, \cdots, x_n)的全体称为{\color{blue}{n维空间}},\\\\ 记作{\color{blue}{R^n}},即\\\\ R^n = R \times R \times \cdots R \\\\ = \lbrace (x_1, x_2, \cdots, x_n) | x_k \in R, k = 1, 2, \cdots, n \rbrace \\\\ n维空间中的每一个元素(x_1, x_2, \cdots, x_n)称为空间\\\\ 中的一个{\color{blue}{点}}，数x_k称为改点的第k个{\color{blue}{坐标}}.n元有序数组(x1​,x2​,⋯,xn​)的全体称为n维空间,记作Rn,即Rn=R×R×⋯R={(x1​,x2​,⋯,xn​)∣xk​∈R,k=1,2,⋯,n}n维空间中的每一个元素(x1​,x2​,⋯,xn​)称为空间中的一个点，数xk​称为改点的第k个坐标.
$当所有坐标x_k=0时,称该元素为R^n中的零元,记作0$

$二、多元函数的概念$

引例：圆柱体的体积V=πr2h,{(r,h)∣r&gt;0,h&gt;0}引例：\\\\ 圆柱体的体积\\\\ V = \pi r^2 h, \lbrace (r, h) | r &gt; 0, h &gt; 0 \rbrace引例：圆柱体的体积V=πr2h,{(r,h)∣r>0,h>0}
三角形面积的海伦公式(p=a+b+c2S=p(p−a)(p−b)(p−c){(a,b,c)∣a&gt;0,b&gt;0,c&gt;0}三角形面积的海伦公式 (p = \dfrac{a + b + c} {2} \\\\ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \\\\ \lbrace (a, b, c ) | a &gt; 0, b &gt; 0, c &gt; 0 \rbrace三角形面积的海伦公式(p=2a+b+c​S=p(p−a)(p−b)(p−c)​{(a,b,c)∣a>0,b>0,c>0}

定义1.设非空点集D⊃Rn,映射f:D↦R称为定义在D上的n元函数,记作u=f(x1,x2,⋯&ThinSpace;,xn)或u=f(P),P∈D点集D称为函数的定义域;数集{u∣u=f(P),P∈D}称为函数的值域定义1.设非空点集D \supset R^n,映射f: D \mapsto R\\\\ 称为定义在D上的{\color{blue}{n元函数}},记作\\\\ u = f(x_1, x_2, \cdots, x_n)或u= f(P), P \in D \\\\ 点集D称为函数的{\color{blue}{定义域}};数集\lbrace u | u = f(P), P \in D \rbrace \\\\ 称为函数的{\color{blue}{值域}}定义1.设非空点集D⊃Rn,映射f:D↦R称为定义在D上的n元函数,记作u=f(x1​,x2​,⋯,xn​)或u=f(P),P∈D点集D称为函数的定义域;数集{u∣u=f(P),P∈D}称为函数的值域
$$\begin{gathered} 特别地,当n=2时,有二元函数 \\ z=f(x,y),(x,y)\in D\subset R^2 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 当n=3时,有三元函数 \\ u=f(x,y,z),(x,y,z)\in D\subset R^3 \end{gathered}$$
例如,二元函数z=1−x2−y2定义域为圆域{(x,y)∣x2+y2≤1}图形为中心在原点的上半球面.例如,二元函数z = \sqrt{1 - x^2 - y^2} \\\\ 定义域为圆域\lbrace (x, y) | x^2 + y^2 \leq 1 \rbrace \\\\ 图形为中心在原点的上半球面.例如,二元函数z=1−x2−y2​定义域为圆域{(x,y)∣x2+y2≤1}图形为中心在原点的上半球面.
$又如,z=\sin (xy),(x,y)\in R^2$
$说明：二元函数z=f(x,y),(x,y)\in D的图形一般为空间曲面\Sigma$
三元函数u=arcsin⁡(x2+y2+z2)的定义域为单位闭球{(x,y,z)∣x2+y2+z2≤1}图形为R4空间中的超曲面.三元函数u = \arcsin(x^2 + y^2 + z^2)的定义域为单位闭球\\\\ \lbrace (x, y, z) | x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 \rbrace \\\\ 图形为R^4空间中的超曲面.三元函数u=arcsin(x2+y2+z2)的定义域为单位闭球{(x,y,z)∣x2+y2+z2≤1}图形为R4空间中的超曲面.

$三、二元函数的极限$

$$\begin{gathered} 定义2.设二元函数z=f(x,y)在点P_0(x_0,y_0)的某一去心邻域 \\ 内有定义,P(x,y)为该邻域内任意一点,当P(x,y)以任意方式 \\ 趋近于P_0(x_0,y_0)时,函数f(x,y)的值都趋于一个确定的常数A, \\ 则称A为函数f(x,y)当点P(x,y)趋近于P_0(x_0,y_0)时的极限. \\ 记作{\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A \end{gathered}$$

$四、二元函数的连续性$

$$\begin{gathered} 定义3.设二元函数f(x,y)在点P_0(x_0,y_0)的某邻域内 \\ 有定义,如果{\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0), \\ 则称二元函数z=f(x,y)在点P_0处连续, \\ 如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上连续 \end{gathered}$$

$结论：一切多元初等函数在定义域内连续.$
$闭域上二元连续函数有与一元函数类似的如下性质：$
$定理:若f(P)在有界闭域D上连续,则$
$(1)\exists K>0,使|f(P)|\le K,P\in D;(有界性定理)$
$(2)f(P)在D上可取得最大值M及最小值m;(最值定理)$
$(3)对任意\mu \in [m,M],\exists Q\in D,使f(Q)=\mu ;(介值定理)$

$内容小结$
$$\begin{gathered} 1.区域 \\ 邻域:U(P_0,\delta ),\mathring{U}(P_0,\delta ) \\ 区域：连通的开集 \\ {R}^n空间 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 2.多元函数概念 \\ n元函数u=f(P)=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n) \\ P\in D\subset R^n \end{gathered}$$
$常用\{\begin{array}{l}二元函数\\ 三元函数\end{array}$

$3.多元函数的极限$
${\lim }_{P\to P_0}f(P)=A$

$讨论函数f(x,y)=\{\begin{array}{l}\frac{xy}{x^2+y^2},x^2+y^2≠0\\ 0,x^2+y^2=0\end{array}$
$在P_0(0,0)处的极限是否存在?$
$沿x轴(y=0){\lim }_{x\to 0,y=0}f(x,y)=0$
$沿y轴(x=0){\lim }_{x=0,y\to 0}f(x,y)=0$

$$\begin{gathered} 沿y=kx,(k≠0) \\ {\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y) \\ ={\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xkx}{x^2+k^2{x}^2}=\frac{k}{1+k^2} \\ 对于不同的k值，极限值不同，f(x,y)在P(0,0)点极限不存在 \end{gathered}$$

$4.多元函数的连续性$
$1)函数f(P)在P_0连续⟺{\lim }_{P\to P_0}f(P)=f(P_0)$
$$\begin{gathered} 2)闭域上的多元连续函数的性质: \\ 有界定里;最值定理;介值定理 \end{gathered}$$
$3)一切多元初等函数在定义域内连续$