Part V.S1. VIKOR方法基本理论

1.1 VIKOR方法的基本思想

  $\mathrm{VIKOR}$(VIseKriterijumska Optimizacija I Kompromisno Resenje)方法是由$Opricovic$于1998年针对复杂系统而提出的一种基于理想解的多属性决策方法。$\mathrm{VIKOR}$方法的基本原理是首先确定正理想解(positive ideal solution，PIS)和负理想解(negative ideal solution，NIS)，然后根据各个备选方案的属性评价值与理想解的接近程度，在可接受优势和决策过程的稳定条件下对备选方案进行排序。$\mathrm{VIKOR}$方法求得的解是一种折中解，是所有解中最为接近最优解的可行解，也是最优与最劣两种属性间彼此让步的结果。

  在综合评价中，$\mathrm{VIKOR}$方法采用了由$L_{pj}-metric$发展而来的聚合函数:

$$L_{pj}={\left\{\sum _{i=1}^n{\left[\frac{{\omega }_i\left(y_i^{+}-y_{ij}\right)}{\left(y_i^{+}-y_i^{-}\right)}\right]}^p\right\}}^{\frac{1}{p}}\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

  式中，$1\le p\le \infty ;j=1,2,\cdots ,m$，$m$为备选方案的个数;$y_{ij}$为备选方案$Y_j$在第$i$个属性(或准则)的评价值;测度$L_{pj}$为方案$Y_j$与理想解的距离。$\mathrm{VIKOR}$方法的最大特色是最大化群体效益和最小化个体损失，所以其妥协解可被决策者接受。

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1.2 权重信息已知情形下的VIKOR方法

  设多属性决策问题有$m$个方案$Y_i\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$，组成方案集$Y=\left(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_m\right)$，评价每个方案的属性（或指标）为$G_j\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，记属性集为G={G1,G2,⋯ ,Gn}G=\left\{ G_{1},G_{2},\cdots,G_{n} \right\}G={G1​,G2​,⋯,Gn​}，属性$G_j\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$的权重已知，$\omega ={\left({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n\right)}^T$为属性权重向量。如果$f_{ij}$表示方案$Y_i\in Y$在属性$G_j\in G$的评价指标值，矩阵$F={\left(f_{ij}\right)}_{m\times n}$为该多属性决策问题的决策矩阵，则属性权重已知条件下的$\mathrm{VIKOR}$方法的决策步骤如下：

  S.1 确定多属性决策问题的方案集Y={Y1,Y2,⋯ ,Ym}Y=\left\{Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{m}\right\}Y={Y1​,Y2​,⋯,Ym​}和属性集G={G1,G2,⋯ ,Gn}G=\left\{G_{1}, G_{2},\cdots,G_{n}\right\}G={G1​,G2​,⋯,Gn​}，构建多属性决策问题的决策矩阵$F={\left(f_{ij}\right)}_{m\times n}$。

  S.2 对决策矩阵$F={\left(f_{ij}\right)}_{m\times n}$进行规范化处理。利用标准$0-1$变换，对决策矩阵$F={\left(f_{ij}\right)}_{m\times n}$进行规范化处理。得到规范化决策矩阵$F^{{}^{\prime }}={\left(f_{ij}^{{}^{\prime }}\right)}_{m\times n}$，$f_{ij}^{{}^{\prime }}$的具体计算公式为：

  当属性$G_j$为效益型指标时，

$$f_{ij}^{{}^{\prime }}=\frac{f_{ij}-{\min }_i\left(f_{ij}\right)}{{\max }_i\left(f_{ij}\right)-{\min }_i\left(f_{ij}\right)},j=1,2,\cdots ,n\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

  当属性$G_j$为成本型指标时，

$ f_{ij}^{'} = \frac {\max_{i}\left(f_{ij}\right) - f_{ij}} {\max_{i}\left(f_{ij}\right) - \min_{i}\left(f_{ij}\right) },j=1,2,\cdots,n \tag{1.3} $

  S.3 根据规范化矩阵$F^{{}^{\prime }}={\left(f_{ij}^{{}^{\prime }}\right)}_{m\times n}$，确定正理想解$f^{+}$和负理想解$f^{-}$:

$$f^{+}=\left(f_1^{+},f_2^{+},\cdots ,f_n^{+}\right),f^{-}=\left(f_1^{-},f_2^{-},\cdots ,f_n^{-}\right)\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

其中，$f_j^{+}={\max }_i\left(f_{ij}^{{}^{\prime }}\right)$，$f_j^{-}={\min }_i\left(f_{ij}^{{}^{\prime }}\right)$

  S.4 计算各备选方案$Y_i\in Y$的群体效益值$S_i$、个体遗憾值$R_i$以及折中值$Q_i$:

$$S_i=\sum _{j=1}^n{\omega }_j\left[\frac{f_j^{+}-f_{ij}}{f_j^{+}-f_j^{-}}\right]\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

$$R_i=\underset{j}{\max }{\omega }_j\left[\frac{f_j^{+}-f_{ij}}{f_j^{+}-f_j^{-}}\right]\text{\hspace{1em}(1.6)}$$

$$Q_i=\nu \frac{S_i-S^{+}}{S^{-}-S^{+}}+\left(1-\nu \right)\frac{R_i-R^{+}}{R^{-}-R^{+}},i=1,2,\cdots ,m\text{\hspace{1em}(1.7)}$$

  其中， $S_i$为最大群体效用，是$L_{1,j}$测度;$R_i$取小个体遗憾，是$L_{\infty ,j}$测度；${\omega }_j$为各属性权重；$S^{+}={\min }_i(S_i)$，$S^{-}={\max }_i(S_i)$，$R^{+}={\min }_i(R_i)$,$R^{-}={\max }_i(R_i)$；$\nu$为决策机制系数，$\nu \in [0,1]$。当$\nu >0.5$时，表示根据最大群体效用的决策机制进行决策;当$\nu =0.5$时，表示依据决策者经过协商达成共识的决策机制进行决策;当$\nu <0.5$时，表示根据最小个体遗憾的决策机制进行决策。

  S.5 对各方案进行排序。按$S_i$、$R_i$以及$Q_i$值对各备选方案进行排序，数值越小表示相应的方案越优。

  S.6 确定妥协解方案。设按$Q_i$值递增得到的排序为$Y^{(1)},Y^{(2)},\cdots ,Y^{(J)},\cdots ,Y^{(m)}$，则备选方案的排序可依据排序条件1和排序条件2确定。

  排序条件1 可接受优势条件: $Q\left(Y^{(2)}\right)-Q\left(Y^{(1)}\right)\ge \frac{1}{m-1}$

  排序条件2 决策过程中可接受的稳定性条件:方案$Y^{(1)}$必须也是按照$S_i$值或$R_i$值排序第一的方案。

  如果排序条件$1$和排序条件$2$同时满足，则方案$Y^{(1)}$在决策过程中为稳最优方案。如果排序条件$1$和排序条件$2$不同时满足，当只满足排序条件$1$满足排序条件2时，方案$Y^{(1)}$和方案$Y^{(2)}$均为折中解方案;如果不满足排序多通过

$$Q\left(Y^{(2)}\right)-Q\left(Y^{(1)}\right)<\frac{1}{m-1}$$

  得到最大的$J$，此时方案$Y^{(1)},Y^{(2)},\cdots ,Y^{(J)}$为折中解方案。

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1.3 属性权重信息未知情形下的VIKOR方法

  如果多属性决策问题的属性权重$\omega ={\left({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n\right)}^T$完全未知，则可通过构造最优化模型的方法确定属性权重。

  设决策矩阵$F={\left(f_{ij}\right)}_{m\times n}$的规范化矩阵为$F^{{}^{\prime }}={\left(f_{ij}^{{}^{\prime }}\right)}_{m\times n}$，$f^{+}=\left(f_1^{+},f_2^{+},\cdots ,f_n^{+}\right)$和$f^{-}=\left(f_1^{-},f_2^{-},\cdots ,f_n^{-}\right)$分别为多属性决策问题的正理想解和负理想解。由于:

$$S_i=\sum _{j=1}^n{\omega }_j\left(\frac{f_j^{+}-f_{ij}}{f_j^{+}-f_j^{-}}\right)$$

  表示的是备选方案Y到正理想解的接近程度，$S_i$越小说明备选方案$Y_i$越接近正理想解，此时选择属性权重的问题即转化为求解多目标优化模型:

$$\{\begin{array}{rl}& \min S_i=\sum _{j=1}^n{\omega }_j\left(\frac{f_j^{+}-f_{ij}}{f_j^{+}-f_j^{-}}\right),i=1,2,\cdots ,m\\ & \text{s.t.}\sum _{j=1}^n{\omega }_j^2=1,{\omega }_j\ge 0,j=1,2,\cdots ,n\end{array}\text{\hspace{1em}(1.8)}$$

  由于各备选方案之间不存在偏好关系，则求解上述多目标优化模型就等价于解以下单目标优化模型:

$$\{\begin{array}{rl}& \min S=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{\omega }_j\left(\frac{f_j^{+}-f_{ij}}{f_j^{+}-f_j^{-}}\right)\\ & \text{s.t.}\sum _{j=1}^n{\omega }_j^2=1,{\omega }_j\ge 0,j=1,2,\cdots ,n\end{array}\text{\hspace{1em}(1.9)}$$

  为了求解最优化模型$(1.9)$，可构造拉格朗日函数:

$$L\left(\omega ,\lambda \right)=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{\omega }_j\left(\frac{f_j^{+}-f_{ij}}{f_j^{+}-f_j^{-}}\right)+\frac{\lambda }{2}\left(\sum _{j=1}^n{\omega }_{j=1}^2-1\right)\text{\hspace{1em}(1.10)}$$

  对式$(1.10)$关于0和求偏导数，并令偏导数等于0，可得:

$$\begin{array}{rl}& \frac{\partial L}{\partial {\omega }_j}=\sum _{i=1}^m\frac{\left(f_j^{+}-f_{ij}^{{}^{\prime }}\right)}{\left(f_j^{+}-f_j^{-}\right)}\\ & \frac{\partial L}{\partial \omega }=\frac{1}{2}\left(\sum _{j=1}^n{\omega }_{j=1}^2-1\right)=0\end{array}$$

解之可得

$$\begin{gathered} {\omega }_j^{+}=\frac{{\sum }_{i=1}^m\left(f_j^{+}-f_{ij}^{\prime }\right)/\left(f_j^{+}-f_j^{-}\right)}{\sqrt{{\sum }_{j=1}^n{\left[{\sum }_{i=1}^m\left(f_j^{+}-f_{ij}^{\prime }\right)/\left(f_j^{+}-f_j^{-}\right)\right]}^2}} \\ \text{\hspace{1em}(1.11)} \end{gathered}$$

对${\omega }_j^{+}$进行归一化可得属性$G_j=\left(1,2,\cdots ,n\right)$的权重为：

$${\omega }_j^{\ast }=\frac{{\sum }_{i=1}^m\left(f_j^{\ast }-f_{ij}^{\prime }\right)/\left(f_j^{\ast }-f_j^{-}\right)}{{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{i=1}^m\left(f_j^{\ast }-f_{ij}^{\prime }\right)/\left(f_j^{\ast }-f_j^{-}\right)},j=1,2,\cdots ,n\text{\hspace{1em}(1.12)}$$

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1.4 属性权重完全未知情形下VIKOR决策方法

  设多属性决策问题有$m$个方案$Y_i\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$，组成方案集$Y=\left(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_m\right)$，评价每个方案的属性（或指标）为$G_j\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，记属性集为G={G1,G2,⋯ ,Gn}G=\left\{ G_{1},G_{2},\cdots,G_{n} \right\}G={G1​,G2​,⋯,Gn​}，属性$G_j\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$的权重已知，$\omega ={\left({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n\right)}^T$为属性权重向量。如果$f_{ij}$表示方案$Y_i\in Y$在属性$G_j\in G$的评价指标值，矩阵$F={\left(f_{ij}\right)}_{m\times n}$为该多属性决策问题的决策矩阵，则属性权重已知条件下的$\mathrm{VIKOR}$方法的决策步骤如下：

  S.1 确定多属性决策问题的方案集Y={Y1,Y2,⋯ ,Ym}Y=\left\{Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{m}\right\}Y={Y1​,Y2​,⋯,Ym​}和属性集G={G1,G2,⋯ ,Gn}G=\left\{G_{1}, G_{2},\cdots,G_{n}\right\}G={G1​,G2​,⋯,Gn​}，构建多属性决策问题的决策矩阵$F={\left(f_{ij}\right)}_{m\times n}$。

  S.2 对决策矩阵$F={\left(f_{ij}\right)}_{m\times n}$进行规范化处理。利用标准$0-1$变换，对决策矩阵$F={\left(f_{ij}\right)}_{m\times n}$进行规范化处理。得到规范化决策矩阵$F^{{}^{\prime }}={\left(f_{ij}^{{}^{\prime }}\right)}_{m\times n}$，$f_{ij}^{{}^{\prime }}$的具体计算公式为：

  当属性$G_j$为效益型指标时，

$$f_{ij}^{{}^{\prime }}=\frac{f_{ij}-{\min }_i\left(f_{ij}\right)}{{\max }_i\left(f_{ij}\right)-{\min }_i\left(f_{ij}\right)},j=1,2,\cdots ,n$$

  当属性$G_j$为成本型指标时，

$$f_{ij}^{{}^{\prime }}=\frac{{\max }_i\left(f_{ij}\right)-f_{ij}}{{\max }_i\left(f_{ij}\right)-{\min }_i\left(f_{ij}\right)},j=1,2,\cdots ,n$$

  S.3 根据规范化矩阵$F^{{}^{\prime }}={\left(f_{ij}^{{}^{\prime }}\right)}_{m\times n}$，确定正理想解$f^{+}$和负理想解$f^{-}$:

$$f^{+}=\left(f_1^{+},f_2^{+},\cdots ,f_n^{+}\right),f^{-}=\left(f_1^{-},f_2^{-},\cdots ,f_n^{-}\right)$$

  其中，$f_j^{+}={\max }_i\left(f_{ij}^{{}^{\prime }}\right)$，$f_j^{-}={\min }_i\left(f_{ij}^{{}^{\prime }}\right)$

  S.4利用式$(1.12)$计算属性$G_j\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$的权重${\omega }_j\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，得到权重向量$\omega =\left({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n\right)$。

  S.5 计算各备选方案$Y_i\in Y$的群体效益值$S_i$、个体遗憾值$R_i$、折中值$Q_i$。

$$S_i=\sum _{j=1}^n{\omega }_j\left[\frac{f_j^{+}-f_{ij}}{f_j^{+}-f_j^{-}}\right]$$

$$R_i=\underset{j}{\max }{\omega }_j\left[\frac{f_j^{+}-f_{ij}}{f_j^{+}-f_j^{-}}\right]$$

$$Q_i=\nu \frac{S_i-S^{+}}{S^{-}-S^{+}}+\left(1-\nu \right)\frac{R_i-R^{+}}{R^{-}-R^{+}},i=1,2,\cdots ,m$$

  并按$S_i$、$R_i$和$Q_i$值对各备选方案进行排序，数值越小表示相应的方案更优。

  S.6 确定妥协解方案。设按$Q_i$值递增得到的排序为$Y^{(1)},Y^{(2)},\cdots ,Y^{(J)},\cdots ,Y^{(m)}$，则依据排序条件$1$和排序条件$2$可确定备选方案的优劣排序，并得到最优方案或折中方案。

备选方案的排序可依据排序条件1和排序条件2确定。

  排序条件1 可接受优势条件: $Q\left(Y^{(2)}\right)-Q\left(Y^{(1)}\right)\ge \frac{1}{m-1}$

  排序条件2 决策过程中可接受的稳定性条件:方案$Y^{(1)}$必须也是按照$S_i$值或$R_i$值排序第一的方案。

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特别说明：本专栏主要参考郭子雪等所著《直觉模糊多属性决策理论方法及应用研究》书籍，部分代码计算结果与书中有所出入，请仔细甄别！