SDNU 1313.Chess 找规律矩阵快速幂

最新推荐文章于 2024-09-02 15:21:02 发布

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本文介绍了一个关于棋盘布局的问题，通过分析问题特点，发现其与斐波那契数列之间的联系，并利用矩阵快速幂的方法高效求解。文章提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1313.Chess

Description

小X有一个1*n的跳棋棋盘。今天小X要去参加比赛，他希望所有的跳棋排成他希望的队形（即在指定的格子上有棋子）来给他加油。小X只能在棋盘的第1个格或第2个格放置棋子，而其他的格子只能通过跳棋的跳跃到达。当且仅当第i格有棋子，i+1格有棋子，i+2格为空的时候，i格上的棋子能够跳到i+2格上，与此同时i+1格子上的棋子会消失。同理，当且仅当第i格有棋子，i-1格有棋子，i-2格为空的时候，i格上的棋子能够跳到i-2格上，与此同时i-1格子上的棋子会消失。

现在告诉你小X希望那些格子上需要有棋子，你的任务是求出最少需要在棋盘上放置多少个棋子才能做到。

由于这个答案可能过大，为了简化问题，你只需要输出最终答案模268435456的余数。

Input

第一行2个整数：n，m。n表示棋盘的大小，m表示希望放置棋子的格子个数。2<n<=100000，m<=n。所有的a∈[3,n]，保证按非减序给出。

接下来m行，每行一个整数a，表示在第a个格子上需要放置一枚棋子。

Output

一个整数，最少需要放置的棋子数量 mod 268435456。

Sample Input

4 2
3
4

Sample Output

题目中文不必解释什么，数字很大，所以先笔算在纸上找一下规律出来，多写几个情况之后就会发现这个数所对应的情况就是斐波那契数列，而数很大的斐波那契就很容易想到用矩阵快速幂来做了，没什么多说的了，下面AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const long long mod=268435456;

struct matrix
{
     long long mat[2][2];
};

matrix multiply(matrix a,matrix b)
{
     int i,j,k;
     matrix t;
     for(i=0;i<2;i++)
     {
          for(j=0;j<2;j++)
          {
               t.mat[i][j]=0;
               for(k=0;k<2;k++)
               {
                    t.mat[i][j]=(t.mat[i][j]+a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%mod;
               }
          }
     }
     return t;
}

long long fibonacci(long long a)
{
     matrix x,y;
     x.mat[0][0]=x.mat[0][1]=x.mat[1][0]=1;
     x.mat[1][1]=0;
     y.mat[0][0]=y.mat[1][1]=1;
     y.mat[0][1]=y.mat[1][0]=0;
     while(a)
     {
          if(a&1)
          {
               y=multiply(y,x);
          }
          x=multiply(x,x);
          a=a>>1;
     }
     return y.mat[0][1];
}

int main()
{
     int n,m;
     int i;
     long long p;
     long long ans;
     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
     {
          ans=0;
          for(i=0;i<m;i++)
          {
               scanf("%lld",&p);
               //cout<<"fibonacci("<<p<<") = "<<fibonacci(p)<<endl;
               ans=(ans+fibonacci(p)%mod)%mod;
          }
          cout<<ans<<endl;
     }
     return 0;
}