51nod 3144超级购物（概率和期望）

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题目大意

有$n（n\le 20）$个人去买东西，给出他们每个人买东西的概率$p_i$，已知有$r$个人买了东西，求每个人买东西的概率是多少。

解题思路

思路来源于：这位dalao ，他的这题题解
前置芝士：已知当事件$B$发生时事件$A$发生的概率如下图公式所示

在这题中，事件$B$为有$r$个人买了东西，事件$A$为第$i$个人买了东西。由此可以得知最后这个人买东西的概率为：
$$\frac{有r个人买东西且当前这个人买了东西时的概率}{共有r个人买东西的概率}$$
因此我们可以用dp，先搜出$n$个人中$r$个人购物的概率，再依次求出有$r$个人购物且第$i$个人买东西时的概率，再套入公式，即可求出每个人购物的概率。
令$f_{i,j}$为前$i$个人中有$j$个人买东西，由此可推出状态转移方程：
$$f_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{f}_{i-1,j}& \text{第i个人是一定要买东西的那个人}\\ f_{i-1,j}\ast (1-p_i)+p_i\ast f_{i-1,j-1}& \text{这个人不一定买东西}\end{array}$$
这个人不一定买东西时，有两种可能，第一种为这个人不购物，所以$f_{i,j}=f_{i-1,j}\ast (1-p_i)$（因为前$i-1$个人中已经有$j$个人购物了，所以乘上这个人不购物的概率$(1-p_i)$）；第二种为这个人购物，所以$f_{i,j}=f_{i-1,j-1}\ast p_i$（因为前$i-1$人中只有$j-1$人购物，所以这个人只有购物才能满足有$j$个人买东西，所以乘上这个人购物的概率）。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,r;
double p[25],f[105][105];
double work(int x)//第x个人肯定购物
{
	f[0][0]=1;//初始化
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(i==x)//如果这个人肯定购物
		{
			for(int j=0;j<=min(r,i);j++) f[i][j]=f[i-1][j];//由于肯定购物所以概率不变
			continue;
		}
		for(int j=0;j<=min(i,r);j++)//因为不能出现购物的人比当前的人多
		{
			f[i][j]=(1-p[i])*f[i-1][j];//第一种可能（见解题思路）
			if(j!=0) f[i][j]+=p[i]*f[i-1][j-1];//第二种可能（见解题思路）j!=0是因为j为0时数组访问到j-1会re
		}
	}
	if(x==0) return f[n][r];//当没有锁定一个人肯定购物时每个人购物的概率（n个人中r个人购物的概率）
	else return f[n][r-1];//因为这个人肯定购物，占了一个名额，所以要减去ta
}
int main()
{
	cin>>n>>r;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>p[i];
		p[i]/=100;
	}
	
	double k=work(0);//求出n个人中r个人购物的概率
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		printf("%.6lf ",work(i)*p[i]/k);//work(i)*p[i]->肯定购物的那个人乘上ta购物的概率，套上公式
	}
	return 0;
}