POJ 1061

戳一戳 ->青蛙的约会

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

        昨天的比赛感觉自己咋这么菜呢？？

        考的全不会！

扎心了！

解释：

1.两只青蛙相遇，会有[(x-y)+k(m-n)]%l=0;(k表示跳的次数)。【方程来源】

2.将(x-y)记为A,(m-n)记为B,即(A+kB)%l=0,(A+kB)对l取余等于零可以等价为(A+kB)减去y个l等于零，即(A+kB)-yl=0，移项得kB-yl=-A。【方程】

3.将k换为x，得到xB-yl=A(由于将-A变成了A，在开始赋值时若B=m-n，A就为y-x，若B=n-m，A就为x-y)，然后判断是否有解：令d为B与l的最大公约数gcd(B,l);方程两边同时除以d，得到

了xB/d-yl/d=A/d,由于d=gcd(B,l),所以B/d、l/d为整数，然后x、-y也是整数，所以方程成立的条件就是A/d也为整数。【证明方程成立】

4.这个方程就是扩展欧几里得exgcd(B,l,x,y)（忽略y前的负号），这样可以解出x，此时的x不是最优解，还要转换，即((x*(A/d))%(l/d)+(l/d))%(l/d)【求最小解的式子，不理解先背下来】

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long exgcd(long long  a,long long b,long long  &x,long long  &y)
{
	if(b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	long long  r = exgcd(b,a%b,x,y);
	long long cnt = x;
	x= y;
	y = cnt - a/b * y;
	return r;
}
int main()
{
	long long n,m,x,y,l;
	cin>>x>>y>>m>>n>>l;
	long long  a = x- y;
	long long  b = n - m;
	if(b < 0)
	{
		b = -b;
		a = -a;
	}
	long long  k =exgcd(b,l,x,n);
	if(a % k != 0)
	 printf("Impossible");
	else 
	 printf("%lld",((x*(a/k))%(l/k) + l/k)%(l/k));
}