关于三次方程的一道题

三次方程的一道题

前几天在水木社区数学版看到了一道题，题目如下：

设 $x^3-3x-1=0$ 有三个实根从小到大依次$x_1$、$x_2$、$x_3$，求证：
$$x_3^2-x_2^2=x_3-x_1$$

这道题难度挺大的，我是在其他人的提示下才找到了解法。这里记录一下解题过程。

首先需要估计一下这三个根的数值。可以画个图：

可以看到这三个根都在 $[-2,2]$ 这个区间内。那么我们可以设 $x=2cos\alpha$。 带入方程，得：

$$8co{s}^3\alpha -6cos\alpha -1=0$$

我们知道三角函数有个三倍角公式：
$$cos3\alpha =4co{s}^3\alpha -3cos\alpha$$

利用三倍角公式，可以化简为：

$$cos3\alpha =\frac{1}{2}$$

所以：
$${\alpha }_1=\frac{\pi }{9},{\alpha }_2=\frac{7\pi }{9},{\alpha }_3=\frac{13\pi }{9}$$

换算成度数就是：
$${\alpha }_1=20^{\circ },{\alpha }_2=140^{\circ },{\alpha }_3=260^{\circ }$$

按照大小来排就是：
$$x_1=2cos\frac{7\pi }{9},x_2=2cos\frac{13\pi }{9},x_3=2cos\frac{\pi }{9}$$

那么剩下的就是要验证：

$$2co{s}^2\frac{\pi }{9}-2co{s}^2\frac{13\pi }{9}=cos\frac{\pi }{9}-cos\frac{7\pi }{9}$$
由二倍角公式，有：

$$\begin{gathered} 2co{s}^2\frac{\pi }{9}-2co{s}^2\frac{13\pi }{9}=cos\frac{2\pi }{9}-cos\frac{8\pi }{9} \\ =(cos\frac{2\pi }{9}+cos\frac{7\pi }{9})-cos\frac{7\pi }{9}-(cos\frac{\pi }{9}+cos\frac{8\pi }{9})+cos\frac{\pi }{9} \\ =2cos\frac{\pi }{2}cos\frac{5\pi }{18}-cos\frac{7\pi }{9}-cos\frac{\pi }{2}cos\frac{7\pi }{18}+cos\frac{\pi }{9} \\ =cos\frac{\pi }{9}-cos\frac{7\pi }{9} \end{gathered}$$

至此就完成了证明。