本文详细解析了陶哲轩实分析6.2节中的习题，包括命题6.2.5和6.2.11的证明过程。通过分类讨论的方法，证明了实数集合中的各种比较原则和上界下界的性质。
陶哲轩实分析 6.2 节习题试解
6.2.1 证明命题 6.2.5
（a） 自反性 x≤x
分类讨论：
当 x=∞ 时，有 ∞≤∞
当 x∈R 时，有 x≤x
当 x=−∞ 时，有 −∞≤−∞
所以 x∈R∗ 时， 有 x≤x
（b） x<y， x=y， x>y 必有一个成立。
分类讨论：
当 x,y∈R 时， x<y， x=y， x>y 必有一个成立。
当 x=∞,y=∞ 时，有 x=y
当 x=∞,y∈R 有 x>y
当 x=∞,y=−∞ 时，有 x>y
当 x∈R,y=∞ 时，有 x<y
当 x∈R,y=−∞ 时，有 x>y
当 x=−∞,y=∞ 时，有 x<y
当 x=−∞,y∈R 时，有 x<y
当 x=−∞,y=−∞ 时，有 x=y
所以，当x,y∈R∗ 时 x<y， x=y， x>y 必有一个成立。
（c） 如果 x≤y， y≤z 那么有 x≤z
分类讨论：
当 x=∞ 时，x≤y 表明 y=∞, y≤z 表明 z=∞, 所以有 x≤z
当 x∈R,y=∞ 时，y≤z 表明 z=∞, 所以有 x≤z。
当 x,y∈R,z=∞ 时，有 x≤z。
当 x,y,z∈R 时，根据实数性质，如果 x≤y， y≤z 那么有 x≤z
当 x=−∞ 时，总有 x≤z。
所以 如果 x≤y， y≤z 那么有 x≤z
（d） 如果 x≤y，那么有 −x≥−y
分类讨论：
当 x=∞,y=∞ 时，有 −x≥−y
当 x∈R,y=∞ 时， −x≥−∞，所以 −x≥−y
当 x,y∈R 时，由实数的性质，有 −x≥−y
当 x=−∞,y=∞ 时，因为 ∞≥−∞，有 −x≥−y
当 x=−∞,y∈R 时，因为 ∞≥y，有 −x≥−y
当 x=−∞,y=−∞ 时，有 因为 −∞≥−∞，有 −x≥−y
6.2.2 证明命题 6.2.11
设 E 是
（a）对于每个 x∈E，有 x≤sup(E) 和 x≥inf(E)
分类讨论：
如果 E⊂R，那么自然有x≤sup(E) 和 x≥inf(E)
如果 ∞∈E,−∞∉E，那么 sup(E)=∞,inf(E)=inf(E/{∞})，此时有 x≤sup(E) 和 x≥inf(E)
如果 ∞∈E,−∞∈E，那么 sup(E)=∞,inf(E)=−∞，此时有 x≤sup(E) 和 x≥inf(E)
如果 ∞∉E,−∞∈E，那么 sup(E)=sup(E/{−∞}),inf(E)=−∞，此时有 x≤sup(E) 和 x≥inf(E)
所以无论哪种情况，都有x≤sup(E) 和 x≥inf(E)
（b）设 M 是
分类讨论：
如果 ∞∈E，那么 sup(E)=∞，M=∞，此时有 M≥sup(E)
如果 ∞∉E，那么有 sup(E)=sup(E/{−∞})，此时有 M≥sup(E)
（c）设 M 是
如果 −∞∈E，那么 inf(E)=−∞，M=−∞，此时有 M≤inf(E)
如果 −∞∉E，那么有 inf(E)=inf(E/{∞})，此时有 M≤sup(E)
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