洛谷 P2365 任务安排_代价提前计算 + 好题

最新推荐文章于 2025-10-20 23:05:50 发布

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本文深入探讨了动态规划(DP)算法中状态定义与转移方程的优化技巧，通过实例展示了如何解决最优子结构缺失的问题，并给出了从O(n^2)优化到O(n)的方法。代码实现部分使用C++完成。

最开始，笔者将状态 $f_{i}$ 定义为1到i的最小花费，我们不难得到这样的一个状态转移方程，即

$f_{i}=(sumt_{i}-sumt_{j}+S+Cost_{j})*(sumf_{i}-sumf_{j})$ 。

可是我们发现这时 $Cost_{j}$ 非常不好算，而且当前的决策还会对后面的决策产生影响，而且这个转移方程是明显不具备最优子结构的（想一想，为什么？）。
那么，我们就换一个思路，将 $f_{i}$ 重新定义，我们可将 $f_{i}$ 定义为

$f_{i}=min(f_{j}+(sumf_{i}-sumf_{j})*(sumt_{i}-sumt_{j}+S)+(sumt_{i}-sumt_{j}+S)*(sumf_{n}-sumf_{i}))$

即我们定义的 $f_{i}$ 还考虑了对后面的贡献，这样就可以愉快的进行dp了。
时间复杂度是 $O(n^2)$ ，其实我们还可以用斜率优化将其优化到 $O (n)$ ,不过方法不难，笔者就不再阐述。
Code：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 5002;
const long long inf = 10000000000 + 3;
long long sumf[maxn], sumt[maxn], f[maxn];
int main()
{
    int n, s;
    scanf("%d%d",&n,&s);
    for(int i = 1;i <= n;++i)
    {
        scanf("%d%d",&sumt[i], &sumf[i]);
        sumt[i] += sumt[i - 1], sumf[i] += sumf[i - 1]; 
    }
    for(int i = 1;i <= n; ++i)
    {
        f[i] = inf;
        for(int j = 0;j < i; ++j)
            f[i] = min(f[i], f[j] + (sumf[i] - sumf[j]) * (sumt[i] - sumt[j] + s) + (sumt[i] - sumt[j] + s) * (sumf[n] - sumf[i]));
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}