BZOJ 3782: 上学路 Lucas+ExCRT+容斥+dp

原创于 2019-09-12 19:12:00 发布 · 104 阅读

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本文介绍了一种利用中国剩余定理解决复杂算法问题的方法，通过具体实例展示了如何在竞赛编程中运用该定理进行高效取模运算。文章深入解析了代码实现细节，包括长整数运算、快速幂计算、Lucas定理应用及扩展中国剩余定理的实现。

比较综合的一道题，需要用到中国剩余定理来进行取模.

Code:

#include <cstdio> 
#include <algorithm>  
#define N 1000006    
#define ll long long   
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) 
using namespace std;    
ll F[N];       
int array[10]={0,3,5,6793,10007};
struct Node {
	ll x,y;  
	Node(ll x=0,ll y=0):x(x),y(y){} 
}arr[N];     
bool cmp(Node a,Node b) {
	return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x; 
}        
ll qpow(ll base,ll k,ll mod) {
	ll tmp=1; 
	for(;k;k>>=1,base=base*base%mod) 
		if(k&1) tmp=tmp*base%mod; 
	return tmp;       
}
struct Lucas { 
	int mod; 
	int fac[N];     
	int inv(int i) { 
		return (int)qpow(i,mod-2,mod); 
	}
	void init(int p) {  
		mod=p,fac[0]=1;   
		for(int i=1;i<=mod;++i) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;    
	} 
    int C(int x,int y) { 
    	if(y>x) return 0; 
    	if(y==0) return 1;    
    	return (int)(1ll*fac[x]*inv(fac[y])%mod*inv(fac[x-y])%mod);      
    }     
    int solve(ll x,ll y) {
    	if(y>x) return 0; 
    	if(y==0) return 1;     
    	return (int)(1ll*solve(x/mod,y/mod)*C(x%mod,y%mod)%mod);   
    }
}comb[8];  
struct excrt { 
	ll arr[N],brr[N];   
	ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {
		if(!b) { 
			x=1,y=0; 
			return a; 
		} 
		ll gcd=exgcd(b,a%b,x,y),tmp=x;       
		x=y,y=tmp-a/b*y;      
		return gcd;      
	}    
	ll Excrt() { 
		int i,j; 
		ll ans=arr[1],M=brr[1];        
        for(i=2;i<=4;++i) {
        	ll a=M,b=brr[i],c=arr[i]-ans,gcd,x,y;
        	gcd=exgcd(a,b,x,y),b=abs(b/gcd);            
        	x=(x*(c/gcd)%b+b)%b;           
        	ans+=M*x;   
        	M*=brr[i]/__gcd(brr[i],M);    
        	ans=(ans%M+M)%M; 
        } 
        return ans;    
	}
}crt;            
ll C(ll a,ll b,int ty) {   
	if(ty==0) 
		return comb[0].solve(a,b);   
	else {
		int i,j; 
		for(i=1;i<=4;++i) {                         
			crt.arr[i]=comb[i].solve(a,b); 
			crt.brr[i]=array[i];                     
		}
	} 
	return crt.Excrt();  
}
int main() {
	int i,j,k,flag;   
	// setIO("input"); 
	ll n,m,mod;   
	scanf("%lld%lld%d%lld",&n,&m,&k,&mod),flag=(mod==1019663265);   
	if(!flag) {
		comb[0].init(mod);   
	}
	else { 
		for(i=1;i<=4;++i) 
			comb[i].init(array[i]); 
	}              
	for(i=1;i<=k;++i) 
		scanf("%lld%lld",&arr[i].x,&arr[i].y);           
	arr[++k].x=n,arr[k].y=m;    
	sort(arr+1,arr+1+k,cmp);                                                          
	for(i=1;i<=k;++i) { 
		F[i]=C(arr[i].x+arr[i].y,arr[i].y,flag); 
		for(j=1;j<i;++j) {
			if(arr[j].y<=arr[i].y) 
				F[i]=(F[i]-(F[j]*C(arr[i].x-arr[j].x+arr[i].y-arr[j].y,arr[i].y-arr[j].y,flag)%mod)+mod)%mod;     
		}
	} 
	printf("%lld\n",F[k]);   
	return 0;      
}