JZOJ 3899. 【NOIP2014模拟】逻辑的连通性

Description

假如有命题p 一定能推出命题q，则称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
特别的，当p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件时，称p 和q 互为充要条件
现在有n 个命题，其中一些是另一些的充分条件。请问有多少对命题互为充要条件？

Input

第一行三个正整数n，m，分别表示命题数、已知关系数
接下来m 行，每行两个正整数p 和q，表示命题p 是命题q 的充分条件

Output

仅一行，一个整数，表示充要条件的对数

Sample Input

5 5
1 3
3 2
2 1
4 5
5 4

Sample Output

4

样例说明：

4 对充要条件分别是（1, 2）、（2, 3）、（1, 3）、（4, 5）

Data Constraint

对于10% 的数据，n <= 10;m <= 50
对于40% 的数据，n <= 500;m <= 1000
对于另外10% 的数据，数据中保证没有重边且m = n^2
对于100% 的数据，n<= 50000;m <= 600000

Solution

• 稍加思考可知：若命题p 是命题q 的充分条件，则相当于点p 向点q 连一条有向边。

• 则构成一个图，形成环表示环中点互为充要条件！

• 那么问题就转化为求此图中的强连通分量，每次累加上 $n*(n-1)/2$ ，即可。

• 可以用Tarjan算法实现，时间复杂度 $O(N)$

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=50001;
int tot,now,top;
long long ans;
int dfn[N],low[N],stack[N];
int first[N],next[N*12],en[N*12];
bool vis[N],bz[N];
inline int read()
{
    int data=0; char ch=0;
    while(ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9') data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
    return data;
}
inline int min(int x,int y){return (x<y)?x:y;}
inline void insert(int x,int y)
{
    next[++tot]=first[x];
    first[x]=tot;
    en[tot]=y;
}
inline void tarjan(int x)
{
    dfn[x]=low[x]=++now;
    vis[x]=true;
    bz[stack[++top]=x]=true;
    for(int i=first[x];i;i=next[i])
        if(!vis[en[i]])
        {
            tarjan(en[i]);
            low[x]=min(low[x],low[en[i]]);
        }else
            if(bz[en[i]]) low[x]=min(low[x],dfn[en[i]]);
    if(dfn[x]==low[x])
    {
        long long sum=0;
        do
        {
            sum++;
            bz[stack[top--]]=false;
        }while(x!=stack[top+1]);
        ans+=sum*(sum-1)/2;
    }
}
int main()
{
    int n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        insert(x,y);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!vis[i]) tarjan(i);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}