P1720 月落乌啼算钱（斐波那契数列）

题目背景

（本道题目木有隐藏歌曲……不用猜了……）

《爱与愁的故事第一弹·heartache》最终章。

吃完 pizza，月落乌啼知道超出自己的预算了。为了不在爱与愁大神面前献丑，只好还是硬着头皮去算钱……

题目描述

算完钱后，月落乌啼想着：“你 TMD 坑我，（以下用闽南语读）归粒靠杯靠亩诶，（以下用英读）是伊特游！”于是当爱与愁大神问多少钱时，月落乌啼说了一堆乱码。爱与愁大神说：“算了算了，我只问第 $n$ 样菜价格多少？”月落乌啼写出了：

$$F_n=\frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n}{\sqrt{5}}$$

由于爱与愁大神学过编程，于是就用 $1$ 分钟的时间求出了 $F_n$ 的结果。月落乌啼为此大吃一惊。你能学学爱与愁大神求出 $F_n$ 的值吗？

输入格式

一行一个自然数 $n$。

输出格式

只有 $1$ 行一个实数 $F_n$，保留两位小数。

样例输入

6

样例输出

8.00

提示

对于所有数据：$0\le n\le 48$。

思路分析
这道题本质上就是计算斐波那契数列的第n项。
斐波那契数列指的是这样一个数列（从第0项开始）：0、1、1、2、3、5、8、13、21 …… 。也就是说，斐波那契数列由0和1开始，之后的每一项都是前两项的和。递推公式：
F(0) =0 , F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2)

只给出公式就让人反应出这是斐波那契数列，要求有点高。所以，小学和初中的学生做不出来也很正常。关于斐波那契数列的数学通项公式的推导，可参考我的另一篇博文。

当然，学习编程的人都比较有韧性，也很机智。比如，我们可以用代码将n=0、1、2、3、4、5、6……时，公式的值输出，寻找一下规律。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 0; i <= n; i++)
		cout << (pow(((1 + sqrt(5)) / 2.0), i) - pow(((1 - sqrt(5)) / 2.0), i)) / sqrt(5) << endl;
	return 0;
}

当n=8时，输出结果如下，这显然是斐波那契数列的前9项：

0
1
1
2
3
5
8
13
21

参考代码

#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
double f[50];
int n, i;
int main() {
	//递推边界条件
	f[0] = 0;
	f[1] = 1;
	cin >> n;
	//顺推斐波那契数列
	for (i = 2; i <= n; i++)
		f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
	cout << fixed << setprecision(2) << f[n]; //输出，保留两位小数
	return 0;
}