题目描述
输入一个偶数 NNN,验证 4∼N4\sim N4∼N 所有偶数是否符合哥德巴赫猜想:任一大于 222 的偶数都可写成两个质数之和。如果一个数不止一种分法,则输出第一个加数相比其他分法最小的方案。例如 101010,10=3+7=5+510=3+7=5+510=3+7=5+5,则 10=5+510=5+510=5+5 是错误答案。
输入格式
第一行输入一个正偶数 NNN
输出格式
输出 N−22\dfrac{N-2}{2}2N−2 行。对于第 iii 行:
首先先输出正偶数 2i+22i+22i+2,然后输出等号,再输出加和为 2i+22i+22i+2 且第一个加数最小的两个质数,以加号隔开。
样例输入
10
样例输出
4=2+2
6=3+3
8=3+5
10=3+7
提示
数据保证,4≤N≤100004 \leq N\leq100004≤N≤10000。
参考代码-1
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool isPrime(int x) {
for(int i=2; i*i<=x; i++)
if(x%i==0) return false;
return true;
}
int main() {
int n;
cin>>n;
for(int x=4; x<=n; x+=2) {
cout<<x<<"=";
for(int i=2; i<x; i++)//x
if(isPrime(i)&&isPrime(x-i)) { // sqrt(x)
cout<<i<<"+"<<x-i<<"\n";
break;
}
}
return 0;
}
/*
时间复杂度分析:
上方代码的时间复杂度=4*sqrt(4)+6*sqrt(6)+8*sqrt(8)+......+10000*sqrt(10000)
=2sqrt(2)(2sqrt(2)+3sqrt(3)+....+5000sqrt(5000))
<3*70(2+3+4+...+5000) //sqrt(5000)=70
=210*n^2 = 210*5000*5000=10^9
不考虑n^2的系数时,时间复杂度是n^2 = 5000*5000=10^7
也就是说上方代码的时间复杂度在10^7 ~ 10^9之间。
从时间复杂度上看,超时风险很大。
本题没有超时,不代表以后做题时,在时间复杂度达到10^9时不会超时。
*/
参考代码-2-埃筛
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10001;
bool notPrime[N]; //false表示是质数,true表示不是质数
int prime[N];
void ai() {
//memset时间复杂度是O(n),可以不用
for(int i=2; i*i<=N; i++) {
if(!notPrime[i]) { //如果是质数
for(int j=i*i; j<=N; j+=i)
notPrime[j] = true;
}
}
//将所有质数放到一起,方便后续使用。
int k=1;
for(int i=2; i<=N; i++) {
if(!notPrime[i])
prime[k++]=i;
}
prime[0]=k; //k=质数个数+1
}
int main() {
ai();
int n;
cin>>n;
for(int i=4; i<=n; i+=2) {
cout<<i<<"=";
for(int j=1; j<prime[0]; j++) {
int v1 = prime[j];
int v2=i-v1;
if(!notPrime[v2]) {
cout<<v1<<"+"<<v2<<"\n";
break;
}
}
}
return 0;
}
参考代码-3-欧拉筛
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10001;
bool isnp[N+1]={1,1};
vector<int> p;
void ola(){
for(int i=2;i<=N;i++){
if(!isnp[i])
p.push_back(i);
for(int j=0;j<(int)p.size();j++){
if(p[j]*i>N) break;
isnp[p[j]*i] = true;
if(i%p[j]==0) break; //if(i==p[j]) break;
}
}
}
int main() {
ola();
int n;
cin>>n;
for(int x=4;x<=n;x+=2){
cout<<x<<"=";
for(int i=0;i<=(int)p.size();i++){
if(p[i]>=x) break;
int t = x-p[i];
if(0<t&&!isnp[t]){
cout<<p[i]<<"+"<<t<<"\n";
break;
}
}
}
return 0;
}