P1304 哥德巴赫猜想

题目描述

输入一个偶数 $N$，验证 $4\sim N$ 所有偶数是否符合哥德巴赫猜想：任一大于 $2$ 的偶数都可写成两个质数之和。如果一个数不止一种分法，则输出第一个加数相比其他分法最小的方案。例如 $10$，$10=3+7=5+5$，则 $10=5+5$ 是错误答案。

输入格式

第一行输入一个正偶数 $N$

输出格式

输出 $\frac{N-2}{2}$ 行。对于第 $i$ 行：

首先先输出正偶数 $2i+2$，然后输出等号，再输出加和为 $2i+2$ 且第一个加数最小的两个质数，以加号隔开。

样例输入

10

样例输出

4=2+2
6=3+3
8=3+5
10=3+7

提示

数据保证，$4\le N\le 10000$。

参考代码-1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool isPrime(int x) {
	for(int i=2; i*i<=x; i++)
		if(x%i==0) return false;
	return true;
}
int main() {
	int n;
	cin>>n;
	for(int x=4; x<=n; x+=2) {
		cout<<x<<"=";
		for(int i=2; i<x; i++)//x
			if(isPrime(i)&&isPrime(x-i)) { // sqrt(x)
				cout<<i<<"+"<<x-i<<"\n";
				break;
			}
	}
	return 0;
}
/*
时间复杂度分析：
上方代码的时间复杂度=4*sqrt(4)+6*sqrt(6)+8*sqrt(8)+......+10000*sqrt(10000)
=2sqrt(2)(2sqrt(2)+3sqrt(3)+....+5000sqrt(5000))
<3*70(2+3+4+...+5000) //sqrt(5000)=70
=210*n^2 = 210*5000*5000=10^9

不考虑n^2的系数时，时间复杂度是n^2 = 5000*5000=10^7

也就是说上方代码的时间复杂度在10^7 ~ 10^9之间。
从时间复杂度上看，超时风险很大。
本题没有超时，不代表以后做题时，在时间复杂度达到10^9时不会超时。
*/

参考代码-2-埃筛

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10001;
bool notPrime[N]; //false表示是质数，true表示不是质数
int prime[N];
void ai() {
	//memset时间复杂度是O(n),可以不用
	for(int i=2; i*i<=N; i++) {
		if(!notPrime[i]) { //如果是质数
			for(int j=i*i; j<=N; j+=i)
				notPrime[j] = true;
		}
	}
	//将所有质数放到一起，方便后续使用。
	int k=1;
	for(int i=2; i<=N; i++) {
		if(!notPrime[i])
			prime[k++]=i;
	}
	prime[0]=k; //k=质数个数+1
}
int main() {
	ai();
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=4; i<=n; i+=2) {
		cout<<i<<"=";
		for(int j=1; j<prime[0]; j++) {
			int v1 = prime[j];
			int v2=i-v1;
			if(!notPrime[v2]) {
				cout<<v1<<"+"<<v2<<"\n";
				break;
			}
		}
	}
	return 0;
}

参考代码-3-欧拉筛

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10001;
bool isnp[N+1]={1,1};
vector<int> p;
void ola(){
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(!isnp[i])
			p.push_back(i);
		for(int j=0;j<(int)p.size();j++){
			if(p[j]*i>N) break;
			isnp[p[j]*i] = true;
			if(i%p[j]==0) break; //if(i==p[j]) break;
		}
	}
}
int main() {
	ola();
	int n;
	cin>>n;
	for(int x=4;x<=n;x+=2){
		cout<<x<<"=";
		for(int i=0;i<=(int)p.size();i++){
			if(p[i]>=x) break;
			int t = x-p[i];
			if(0<t&&!isnp[t]){
				cout<<p[i]<<"+"<<t<<"\n";
				break;
			}
		}
	}
	return 0;
}