51nod 1021石子归并 dp

最新推荐文章于 2022-06-11 15:57:02 发布

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本文介绍了一个经典的动态规划问题——石子合并问题。通过给出详细的递推公式及代码实现，展示了如何计算将N堆石子按最优顺序合并所需的最小代价。

N堆石子摆成一条线。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的代价。计算将N堆石子合并成一堆的最小代价。

例如： 1 2 3 4，有不少合并方法

1 2 3 4 => 3 3 4(3) => 6 4(9) => 10(19)

1 2 3 4 => 1 5 4(5) => 1 9(14) => 10(24)

1 2 3 4 => 1 2 7(7) => 3 7(10) => 10(20)

括号里面为总代价可以看出，第一种方法的代价最低，现在给出n堆石子的数量，计算最小合并代价。

想了很久只想出一种三重循环的方法，不过题目给出的n<=100，三重也是很快就过了的。

我们用dp[i][j]表示合并i到j之间的元素所需要的最大代价，那么很快就可以想到递推公式了。

dp[i][j] = min(dp[i][i+1]+dp[i+2][j],dp[i][i+2][i+3][j],...dp[i][j-2]+dp[j-1][j]) + a[i]+...a[j]

其中我们可以先利用sum[i]来记录a[1]+a[2]+...+a[i]的值。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

int const maxn = 105;
int a[maxn];
int sum[maxn];   //sum[i] = a[1]+a[2]+...+a[i];
int dp[maxn][maxn];//dp[i][j]表示的是合并i到j之间的元素的最大代价，其中j>i

int main()
{
    int n ;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        }
        for(int k = 1 ; k <= n ; k++)
        {
            for(int i = 1 ; i+k <= n ; i++)
            {
                int j = k+i ;
                dp[i][j] = dp[i+1][j] + sum[j]-sum[i-1];
                for(int num = i ; num < j ; num++)
                {
                    dp[i][j] = min(dp[i][j],(dp[i][num]+dp[num+1][j]+sum[j]-sum[i-1]));
                }
                //cout<<dp[i][j]<<endl;
            }
        }
        printf("%d\n",dp[1][n]);
    }
    return 0;
}