hdu 1025 dp+二分模板

最新推荐文章于 2022-08-24 21:53:42 发布

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本文介绍了一种求解最长上升子序列(LIS)问题的高效算法，利用动态规划结合二分查找的方法，在大规模数据集上也能快速找到LIS的长度。通过具体实例详细解析了该算法的工作原理。

题意：

在一条河的两边各有n个位置，在这些位置之间建桥，要求所有桥之间不能交叉。现在告诉你所有可以建桥的位置，例如2,4，就是说河左边的位置2可以与河右边的位置4之间建桥，现在要求满足要求的情况下最多可以建桥的个数。

分析：

想了好久发现是一个最长上升子序列问题，当时n比较大，所以一般的dp算法不能解决这个问题，所以我们换一种专门解决这个问题的特殊解法，就是用dp+二分，但是只能解决序列的长度而不能求出序列。

下面的解释摘自Lce_Crazy的博客。

假定存在一个序列d[1...9]=2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出LIS长度为5。现在开始一步一步的找出来最终的结果。

定义序列B，令i=1...9来逐个考察。此外用变量len来记录现在最长算到了多少了。

首先，把d[1]放到B里，即B[1]=d[1]，就是说长度为1的LIS的最小末尾是2，这时len=1，然后把d[2]有序的放到B里，令B[1]=1（d[2]），就是说长度为1的LIS最小末尾是1，d[1]=2已经没有用了，这是len=1不变。接着d[3]=5,5>1，所以令B[1+1]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，此时B[1...2]=1,5，len=2。

再来，d[4]=3，它正好在1和5之间，当然放在1的位置上不合适，因为1<3，因此长度为2的最小末尾应该是3，淘汰掉5，这时候B[1...2]=1,3，len=2，继续d[5]=6，它在3后边，所以B[3]=4，B[1...3]=1,3,6，len=3。

第6个，d[6]=4，它加在3和6之间，所以我们把6换掉，这样B[1...3]=1,3,4，len=3。

第7个，d[7]=8，8>4，所以B[4]=8，B[1...4]=1,3,4,8，len=4。

第8个，d[8]=9，B[1...5]=1,3,4,8,9，len=5。

最后一个，d[9]=7，所以B[1...5]=1,3,4,7,9，len=5。

注意这里的B并不是LIS，而是对应长度的LIS的最小末尾。

现在可以发现B插入数据是有序的，而且进行替换而不需要移动，也就是说可以使用二分查找，时间复杂度就降下来了。

//之前见过的建桥问题建桥问题
//求最长上升子序列的长度，n比较大，不能用普通的dp，会超时
//只求长度，可以用dp+二分

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int  num[50001];
int  ans[50001];
int main()
{
    int n,k=1;
    int len,low,heigh,mid;
    int tmp1,tmp2;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d %d",&tmp1,&tmp2);
            num[tmp1]=tmp2;
        }
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        ans[1]=num[1];
        len=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            low=1;
            heigh=len;
            while(low<=heigh)
            {
                mid=(low+heigh)/2;
                if(ans[mid]<num[i])
                    low=mid+1;
                else
                    heigh=mid-1;
            }
            ans[low]=num[i];
            if(low>len)
                len++;
        }
        printf("Case %d:\n",k);
        if(len==1)
            printf("My king, at most 1 road can be built.");
        else
            printf("My king, at most %d roads can be built.",len);

        printf("\n\n");
        k++;
    }
    return 0;
}