矩阵论学习笔记之一矩阵的约当标准形

 

 矩阵的约当标准形

 

k阶行列式因子的定义p83

讲这个定义之前，要先弄清楚下面两个基本概念：

其一，k阶子式的概念

其二，最大公因式的概念

k阶子式的概念可以追溯到线性代数中关于矩阵的介绍中有它的定义，即即设A为m×n矩阵，从A中任意取k行k列，位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。从定义上可以看出，它首先是一个行列式，是一个确定的值，而非矩阵。

说点题外话，虽然k阶子式是一个行列式非矩阵，但它确与矩阵的有着密切的联系，矩阵的秩的定义就要用到了k阶子式这一概念，即如果矩阵A中存在r阶子式不为零，而任何r＋1阶子式都为零，则称r为矩阵的秩。即r(A)=r。

最大公因式的概念就不多做介绍了，初中就学过了。

下面进入正题，介绍k阶行列式因子的定义：

设A为n阶矩阵，A（y）是矩阵A的特征矩阵。A（y）中所有非零的k阶子式的首项系数为1的最大公因式Dk（y）称为特征矩阵A（y）的一个k阶行列式因子。k＝1，2，····n

显然由定义可知 Dn（y）＝|A（y）|

 

注明：y应该是那么答，但是打不出来，因此用y代替。

 

不变因式与初级因子的定义p83

这两个概念的定义与计算都是在k阶行列式因子之上的，如果能把特征矩阵的所有的k阶行列式因子计算出来，不变因式和初级因子也就很容易推导出来了，比较简单不多做介绍了。需要要注意的是初级因子全部都是一次因式的方幂。(重点理解什么叫一次因式，它和二次因式的区别，什么叫做方幂)

幂的概念

幂简单来说就是n次方的意思，3的5次幂即3的5次方，3^5=243

 

既然k阶行列式因子是关键，那么该如何求k阶行列式因子呢？

这里应该没有什么好的办法，归根到底，还是要看线性代数中求行列式的基本功了。